Question

【題目】如圖，等邊△ABD與等邊△ACE，連接BE、CD，BE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：（1）BE=CD ；（2）AF平分∠EAC ； （3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正確的有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）先證△BAE≌△DAC，即可得到BE=CD；

（2）利用四點(diǎn)共圓的判定證出A、E、F、C四點(diǎn)共圓，再利用反證法假設(shè)（2）成立得到與條件矛盾即可說明假設(shè)不成立；

（3）根據(jù)A、E、F、C四點(diǎn)共圓，可求出∠EFC，然后就可求∠BFD；

（4）利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法：在BF上找到點(diǎn)G使得FG=FA，先證△AFG是等邊三角形，再證

△BAG≌△DAF即可證出結(jié)論.

在BF上找到點(diǎn)G使得FG=FA，如下圖所示：

∵△ABD和△ACE是等邊三角形

∴∠BAD=∠EAC=60°，AB=AD，AE=AC

∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∴△BAE≌△DAC，（SAS）

∴BE=CD，故（1）正確；

∠BEA=∠ACD，

∵∠AEB+∠AEF=180°，

∴∠AEF+∠ACF=180°，

∴A、E、F、C四點(diǎn)共圓，

∴假設(shè)（2）正確，即∠EAF=∠CAF

由圓的性質(zhì)可得EF=FC

∴∠FEC=∠FCE

∴∠FEC＋∠AEC=∠FCE＋∠ACE

∴∠AEF=∠ACF

又∵∠AEF+∠ACF=180°（已證）

∴∠AEF=∠ACF=90°

而題中的∠AEF是動(dòng)角，不一定是90°，矛盾，

故（2）不一定正確；

∵A、E、F、C四點(diǎn)共圓，∠EAC=60°

∴∠EFC=120°，

∴∠BFD=180°－∠EFC =60°，故（3）正確；

∵AE=AC，

∴∠AFC=∠AFE=∠EFC=60°

∵FG=FA，

∴△AFG是等邊三角形，

∴AG=AF，∠FAG=60°

∵∠BAG+∠GAD=60°，∠FAD+∠GAD =60°，

∴∠BAG =∠FAD，

在△BAG和△DAF中，

∴△BAG≌△DAF（SAS），

∴BG=FD，

∴AF＋FD=FG＋BG=BF，故（4）正確；

∴正確的結(jié)論有3個(gè)．

故選C．