Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A．
（1）請求出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）請確定拋物線的解析式；
（3）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D．若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切割線定理以及矩形的性質(zhì)得出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）將B（1，0）、C（4，0），A（0，2）帶入y=ax²+bx+c求出a，b，c進而得出解析式即可；
（3）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，得出△AOB和△ABD相似有兩種情況進而得出即可．
解答：解：（1）∵OA是⊙P的切線，OC是⊙P的割線．
∴OA²=OB×OC，
即OA²=1×4，
∴OA=2，
即點A點坐標是（0，2）
如圖1，連接PA，過P作PE⊥CO交OC于E顯然，四邊形PAOE為矩形，
故PA=OE，
∵PE⊥BC，
∴BE=CE，
又∵BC=3，
∴BE=，
∴PA=OE=OB+BE=1+=，
即⊙P的半徑長為．

（2）將B（1，0）、C（4，0），A（0，2）帶入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
故拋物線的解析式是：；

（3）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有兩種情況
①∠ABD和∠AOB對應(yīng)，
如圖1，此時AD是⊙P的直徑則AB=，AD=5
∴BD=2，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴MA：AD=AB：BD，
即MA=，
∵Rt△AMB∽Rt△DMA，
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=，
②∠BAD和∠AOB對應(yīng)，
如圖2，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點
∵B（1，0），P（，2），
∴直線MB的解析式是：
∴M點的坐標為（0，-），
∴AM=，
由△MAB∽△MDA，
得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA²=．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得圖形進行分類討論是解題關(guān)鍵．