Question

【題目】如圖在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P是邊BC上由B向C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)的速度是1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，過(guò)P點(diǎn)作AC的平行線交AB與點(diǎn)N，連接AP，

（1）請(qǐng)用含有t的代數(shù)式表示線段AN和線段PN的長(zhǎng)，

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APN的面積等于△ACP面積的三分之一？

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻的t的值，使得△APN的面積有最大值，若存在請(qǐng)求出t的值并計(jì)算最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） PN=t，AN =5﹣t；（2）當(dāng)t為s時(shí)，△APN的面積等于△ACP面積的三分之一；（3）t=2時(shí)，△PAN的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AB，再利用平行線分線段成比例定理，求出PN、BN即可解決問(wèn)題；

（2）由題意：PNPC＝×PCAC，推出AC＝3PN，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB==5（cm），

∵PN∥AC，PB=t，

∴==，

∴==，

∴BN=t，PN=t，

∴AN=AB﹣BN=5﹣t．

（2）由題意：PNPC=×PCAC，

∴AC=3PN，

∴3=3t，

∴t=，

∴當(dāng)t為2s時(shí)，△APN的面積等于△ACP面積的三分之一．

（3）由題意：S△APN=PNPC=t（4﹣t）=﹣（t﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴t=2時(shí)，△PAN的面積最大，最大值為．