Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2交x正半軸 于點(diǎn)A，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，OB=OC，連接AC，tan∠OCA=2．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P是第三象限拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，設(shè)PD的長(zhǎng)為d，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接PA，PC，當(dāng)△ACP的面積為30時(shí)，將△APC沿AP折疊得△APC′，點(diǎn)C′為點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求點(diǎn)C′坐標(biāo)并判斷點(diǎn)C′是否在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2上，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)C，A，B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式；
（2）先用t表示出PN，再用三角形的面積的計(jì)算方法即可得出結(jié)論；
（3）先利用三角形ACP的面積表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再判斷出△AKC'≌△COA，進(jìn)而得到C'K=4，AK=2，即可得出點(diǎn)C'的坐標(biāo)，最后判斷即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把x=0代入 y=ax²+bx+2，得，y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2
∴OB=OC=2，
∴B（-2，0），
∵tan∠OCA=2，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OA}{2}$=2，
∴OA=4，
∴A（4，0），
把B（-2，0），A（4，0）代入y=ax²+bx+2，
即$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線(xiàn)解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如圖，設(shè)PD交x軸于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PN⊥x軸，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+2，
∵點(diǎn)P在第三象限，
∴PN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-2，
∴AN=4-t，
∵∠DNA=∠COA=90°，
∴DN∥OC，
∴∠ADN=∠ACO
∴tan∠ADN=tan∠ACO=2
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{4-t}{DN}=2$，
∴AN=2-$\frac{1}{2}$t         
∴d=PD=DN+PN=2-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=$\frac{1}{4}$t²-t（t＜-2）
（3）過(guò)點(diǎn)C作CR⊥PD于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)C'作C'K⊥x軸于點(diǎn)K，
∵∠CRN=∠RNO=∠CON=90°，
∴四邊形OCRN為矩形，
∴CR=ON，
∵△ACP的面積為30，
∴S_△ACP=S_△APD-S_△CPD=$\frac{1}{2}$PD×AN-$\frac{1}{2}$PD×CR=$\frac{1}{2}$PD（AN-CR）=$\frac{1}{2}$PD（AN-ON）=$\frac{1}{2}$PD×OA=$\frac{1}{2}$（ $\frac{1}{4}$t²-t）×4=$\frac{1}{2}$t²-2t=30
∴x=10 （舍去） x=-6
把x=-6代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
∴y=-10，
∴P（-6，-10），
∴PN=10，ON=6，
∴AN=PN=10，
∴∠PAN=∠APN=45°，
∵將△APC沿AP折疊得△APC'
△APC≌△APC'，
∴∠PAC'=∠PAC，即∠PAC'=∠PAN+∠CAO=45°+∠CAO
∴∠OAC'=∠PAO+∠PAC'=90°+∠CAO
∴∠CAK=180°-∠OAC'=90°-∠CAO=∠ACO
∵AC'=AC，∠AKC'=∠COA=90°，
∴△AKC'≌△COA    
∴C'K=OA=4，AK=OC=2，
∴OK=OA+AK=6，
∴C'（6，-4），
當(dāng)x=6時(shí)，y=-4，∴點(diǎn)C'在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2上．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，折疊的性質(zhì)，矩形的判定，三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是△AKC'≌△COA．