【題目】如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根,且其中一個根為另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”.例如,一元二次方程的兩個根是2和4,則方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”,求c的值;
(2)若(x﹣2)(mx﹣n)=0(m≠0)是“倍根方程”,求代數(shù)式4m2﹣5mn+n2的值;
(3)若點(p,q)在反比例函數(shù)y=的圖象上,請說明關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”;
(4)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”,請說明2b2=9ac.
【答案】(1)c的值為2;(2)0;(3)詳見解析;(4)詳見解析.
【解析】
(1)設(shè)出其中一個根,表示另一個根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求出方程的兩個根,進(jìn)而求出c的值,
(2)方程有一個根為2,由“倍根方程”的意義可知另一個根為1或4,當(dāng)另一個根為1時代入方程可得m﹣n=0,當(dāng)另一個根為4代入方程可得4m﹣n=0,而代數(shù)式4m2﹣5mn+n2可分解為(m﹣n)(4m﹣n),因此4m2﹣5mn+n2=(m﹣n)(4m﹣n)=0,
(3)點(p,q)在反比例函數(shù)y的圖象上,可得pq=2,再根據(jù)求根公式求出方程的兩個根為x1,x2,進(jìn)而判斷是“倍根方程”,
(4)設(shè)方程兩根為x1,2x1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到:x1+2x1=,x12x1=,化簡后可得結(jié)論.
(1)設(shè)一元二次方程x2﹣3x+c=0的一個根為x1,則另一個根為2x1,
由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+2x1=3,∴x1=1,即一個根為1,而另一個根為2,∴c=1×2=2,
答:c的值為2.
(2)方程(x﹣2)(mx﹣n)=0的一個根為2,則另一個根為1或4,
當(dāng)另一個根為1時,則﹣1×(m﹣n)=0,∴m﹣n=0,
當(dāng)另一個根為4時,則2×(4m﹣n)=0,∴4m﹣n=0,∴4m2﹣5mn+n2=(m﹣n)(4m﹣n)=0,
答:代數(shù)式4m2﹣5mn+n2的值為0.
(3)∵點(p,q)在反比例函數(shù)y的圖象上,∴pq=2,
關(guān)于x的方程px2+3x+q=0的根為x,
即:x1,x2,∴x1=2x2,
因此是“倍根方程”.
(4)設(shè)方程兩根為x1,2x1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到:x1+2x1=,x12x1=,∴x1=,,∴,∴2b2=9ac.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點D是BC中點,AE∥BC,CE∥AD.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)過點D作DF⊥CE于點F,∠B=60°,AB=6,求EF的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.點P在邊AC上運(yùn)動,過點P作PD⊥AB于點D,以AP、AD為鄰邊作PADE.設(shè)□PADE與△ABC重疊部分圖形的面積為y,線段AP的長為x(0<x≤6).
(1)求線段PE的長(用含x的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點E落在邊BC上時,求x的值.
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)直接寫出點E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時x的值.
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【題目】正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=FM
(2)當(dāng)AE=1時,求EF的長.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AB=AC,BC交⊙O于點D, AC交⊙O于點E,∠BAC=45°。
(1)求∠EBC的度數(shù);
(2)求證:BD=CD。
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【題目】ABCD中,E是CD邊上一點,
(1)將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),使AD、AB重合,得到△ABF,如圖1所示.觀察可知:與DE相等的線段是 ,∠AFB=∠
(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點,且∠PAQ=45°,試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)題中,連接BD分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM2+DN2=MN2嗎?
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【題目】一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“書”、“香”、“校”、“園”的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻.
(1)若從中任取一個球,球上的漢字剛好是“書”的概率為多少?
(2)從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表的方法,求取出的兩個球上的漢字能組成“書香”的概率.
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【題目】下面是某同學(xué)對多項式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過程.
解:設(shè)x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
= y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2 (第四步)
回答下列問題:
(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______.
A.提取公因式 B.平方差公式 C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填“徹底”或“不徹底”)
若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________.
(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2-2x)(x2-2x+2)+1進(jìn)行因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖點O是等邊內(nèi)一點,,∠ACD=∠BCO,OC=CD,
(1)試說明:是等邊三角形;
(2)當(dāng)時,試判斷的形狀,并說明理由;
(3)當(dāng)為多少度時,是等腰三角形
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