Question

【題目】如圖，是將拋物線 平移后得到的拋物線，其對(duì)稱軸為 ，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A ，另一交點(diǎn)為B，與y軸交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn) 為拋物線上一點(diǎn)，且BC⊥NC，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是一次函數(shù) 的圖象上一點(diǎn)，若四邊形OAPQ為平行四邊形，這樣的點(diǎn)P、Q是否存在？若存在，分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的解析式是 ．

把 代入得 ，解得，

則拋物線的解析式是 ，即 ；

（2）解：

方法一：設(shè)直線BC的解析式為 ，

∴直線BC的解析式為 ，

由BC⊥NC，則設(shè)直線CN的解析式為

，即直線CN的解析式為

∵N為直線BC與CN的交點(diǎn)，

∴聯(lián)立方程得： ，即 ，

∴ ，則N的坐標(biāo)是

方法二：在 中令 ，則 ，

即C的坐標(biāo)是 ，OC=3．

∵B的坐標(biāo)是 ，

∴OB=3，

∴OC=OB，則△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

過(guò)點(diǎn)N作NH⊥y軸，垂足是H．

∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是 ．

∴ ，

解得 （舍去）或 ，

∴N的坐標(biāo) ；

（3）解：∵四邊形OAPQ是平行四邊形，

則PQ=OA=1，且PQ∥OA，

設(shè) ，則 代入 ，

得 ，

整理，得 ，

解得 或 ．

∴ 的值為3或 ．

∴P、Q的坐標(biāo)是 或 ．

【解析】（1）由其對(duì)稱軸為 x = 1 ，可得頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，再由與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A ( 1 , 0 )，且由平移可得a=-1，所以易由頂點(diǎn)式求得解析式為y = x 2 + 2 x + 3
（2）由B(3，0)C(0,3)易得直線BC為y = x + 3 ，由于BC⊥NC，可得直線NC的斜率k=1,結(jié)合點(diǎn)C(0,3)，可得到直線NC為y = x + 3；所求點(diǎn)N為二次函數(shù)與直線NC的交點(diǎn)，連列方程組可得N的坐標(biāo)是 ( 1 ， 4 )。
（3）由四邊形OAPQ是平行四邊形易得PQ=OA=1，且PQ∥OA，所以若設(shè) P ( t , t 2 + 2 t + 3 )，則可得 Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 )由于Q為直線y = x + 的點(diǎn)，代入可計(jì)算出t= 0 或 t = ，代入所設(shè) P ( t , t 2 + 2 t + 3 )， Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 ) 即可得兩點(diǎn)坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．