Question

【題目】如圖①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問題：
（1）試說明：OB∥AC；
（2）如圖②，若點E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．試求∠EOC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若左右平行移動AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；
（4）在（3）的條件下，當∠OEB=∠OCA時，試求∠OCA的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC；

（2）解：∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°，

∴∠BOA=80°，

∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA=40°；

（3）解：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：

∵BC∥OA，

∴∠FCO=∠COA，

又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠FOC=∠FCO，

∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，

∴∠OCB：∠OFB=1：2；

（4）解：由（1）知：OB∥AC，

則∠OCA=∠BOC，

由（2）可以設：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，

則∠OCA=∠BOC=2α+β，

∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，

∵∠OEB=∠OCA，

∴2α+β=α+2β，

∴α=β，

∵∠AOB=80°，

∴α=β=20°，

∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60．

【解析】（1）由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行證明．（2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA，算出結(jié)果．（3）先得出結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化，理由為：由BC與AO平行，得到一對內(nèi)錯角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代換得到一對角相等，再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證；（4）由（2）（3）的結(jié)論可得．
【考點精析】通過靈活運用角的運算和平行線的判定與性質(zhì)，掌握角之間可以進行加減運算；一個角可以用其他角的和或差來表示；由角的相等或互補（數(shù)量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數(shù)量關系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)即可以解答此題．