Question

【題目】對于⊙P及一個矩形給出如下定義：如果⊙P上存在到此矩形四個頂點距離都相等的點，那么稱⊙P是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A的坐標為（，），頂點C、D在x軸上，且OC=OD.

（1）當⊙P的半徑為4時，

①在P1（，），P2（，），P3（，）中可以成為矩形ABCD的“等距圓”的圓心的是 ；

②如果點P在直線上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圓”，求點P的坐標；

（2）已知點P在軸上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圓”，如果⊙P與直線AD沒有公共點，直接寫出點P的縱坐標m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ① ; ② 或

（2）

【解析】分析：（1）①由點A的坐標為（，2），頂點C、D在x軸上，且OC=OD，可求得點B，C，D的坐標，繼而可求得到此矩形四個頂點距離都相等的點E的坐標，然后由⊙P的半徑為4，即可求得答案；

②首先設P的坐標為（x，-x+1），易得x2+（-x+1-1）2=42，繼而求得答案；

（2）由題意可得|m-1|＜，且|m-1|≠0，繼而求得答案．

詳解：（1）∵點A的坐標為（，2），頂點C、D在x軸上，且OC=OD，

∴點B的坐標為（-，2），點C的坐標為（-，0），點D的坐標為（，0），

∴矩形ABCD的中心E的坐標為（0，1），

當⊙P的半徑為4時，

①若P1（0，-3），則PE=1+3=4，

若P2（2，3），則PE==4，

若P3（-2，1）則PE=，

∴可以成為矩形ABCD的“等距圓”的圓心的是：P1（0，-3），P2（2，3）；

故答案為：P1（0，-3），P2（2，3）．

②∵設P的坐標為（x，-x+1），

∵E為（0，1），

∴x2+（-x+1-1）2=42，

解得：x=±2，

當x=2時，y=-×2+1=-1；

當x=-2時，y=-×（-2）+1=3；

∴點P的坐標為（2，-1）或（-2，3）；

（2）∵點P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圓”，且⊙P與直線AD沒有公共點，

∴|m-1|＜，且|m-1|≠0，

解得：1-＜m＜1+且m≠1．

∴點P的縱坐標m的取值范圍為：1-＜m＜1+且m≠1．