Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），己知點(diǎn)H（0，﹣1）．問在拋物線上是否存在點(diǎn)G （點(diǎn)G在y軸的左側(cè)），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），拋物線上點(diǎn)D在x軸上的正投影為點(diǎn)E（﹣2，0），F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接DF，P為線段BD上的一點(diǎn)，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得： ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：解法一：

假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)G，設(shè)G（m，n），顯然，當(dāng)n=﹣3時(shí)，△HGC不存在．

①當(dāng)n＞﹣3時(shí)，

可得S△GHA=﹣ +v ，S△GHC=﹣m，

∵S△GHC=S△GHA，

∴m+n+1=0，

由 ，

解得： 或 ，

∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，

∴G（﹣ ， ）；

②當(dāng)﹣4≤n＜﹣3時(shí)，

可得S△GHA= ﹣ ﹣ ，S△GHC=﹣m，

∵S△GHC=S△GHA，

∴3m﹣n﹣1=0，

由 ，

解得： 或 ，

∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，

∴G（﹣1，﹣4）．

∴存在點(diǎn)G（﹣ ， ）或G（﹣1，﹣4）．

解法二：

①如圖①，當(dāng)GH∥AC時(shí)，點(diǎn)A，點(diǎn)C到GH的距離相等，

∴S△GHC=S△GHA，

可得AC的解析式為y=3x﹣3，

∵GH∥AC，得GH的解析式為y=3x﹣1，

∴G（﹣1，﹣4）；

②如圖②，當(dāng)GH與AC不平行時(shí)，

∵點(diǎn)A，C到直線GH的距離相等，

∴直線GH過線段AC的中點(diǎn)M（ ，﹣ ）．

∴直線GH的解析式為y=﹣x﹣1，

∴G（﹣ ， ，

∴存在點(diǎn)G（﹣ ， ）或G（﹣1，﹣4）

（3）

解：解法一：

如圖③，

∵E（﹣2，0），

∴D的橫坐標(biāo)為﹣2，

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴D（﹣2，﹣3），

∵F是OC中點(diǎn)，

∴F（0，﹣ ），

∴直線DF的解析式為：y= x﹣ ，

則它與x軸交于點(diǎn)Q（2，0），

則QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，

∵∠EPF=∠PDF，

∴∠BPE=∠DFP，

∴△PBE∽△FDP，

∴ ，

得：PBDP= ，

∵PB+DP=BD= ，

∴PB= ，

即P是BD的中點(diǎn)，

連接DE，

∴在Rt△DBE中，PE= BD= ．

解法二：

可知四邊形ABDC為等腰梯形，取BD的中點(diǎn)P′，

P′F= （OB+CD）= ，

P′F∥CD∥AB，

連接EF，可知EF=DF= ，

即EF=FP′=FD，

即△FEP′相似△FP′D，

即∠EP′F=∠FP′D=∠FDP′，

即∠EP′F和∠EPF重合，

即P和P′重合，

P為BC中點(diǎn)，

PE= BD= （△BDE為直角三角形）．

【解析】（1）由拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）分別從GH∥AC與GH與AC不平行去分析，注意先求得直線GH的解析式，根據(jù)交點(diǎn)問題即可求得答案，小心不要漏解；（3）利用待定系數(shù)法求得直線DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．