Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD置于直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)D（異于點(diǎn)B、C）為邊BC上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O、D折疊紙片，得點(diǎn)B′和折痕OD．過點(diǎn)D再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線DB′上，得點(diǎn)C′和折痕DE，連接OE，設(shè)BD=t．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）設(shè)S四邊形OECB=s，用含t的式子表示s（要求寫出t的取值范圍）；
（3）當(dāng)OE取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折疊的性質(zhì)可知，∠ODB=∠ODB′，∠EDC=∠EDC′，

∴∠ODE=90°，

∴∠BDO+∠CDE=90°，又∠BDO+∠BOD=90°，

∴∠BOD=∠CDE，

∵BD=t=1，BC=4，

∴CD=3，又OB=3，

∴OB=CD，

在△BOD和△CDE中，

，

∴△BOD≌△CDE，

∴CE=BD=1，

∴AE=AC﹣CE=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）

（2）

解：∵BD=t，

∴DC=BC﹣BD=4﹣t，

由（1）得，∠BOD=∠CDE，又∠B=∠C=90°，

∴△ODB∽△DCE，

∴ ，即 ，

解得，CE= t2+ t，

∴S= ×（CE+OB）×BC= ×（ t2+ t+3）×4，

∴S= t2+ t+6（0＜t＜4）

（3）

解：在Rt△OEA中，OE2=OA2+AE2=42+AE2，

∴當(dāng)AE最小時(shí)，OE最小，

由（2）得，CE= t2+ t，

∴AE=AC﹣CE= t2﹣ t+3= （x﹣2）2+ ，

當(dāng)t=2時(shí)，AE的最小值為 ，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4， ）

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△BOD≌△CDE，求出CE，計(jì)算出AE，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用t表示出CE，根據(jù)梯形的面積公式用t表示S；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出AE的最小值，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．