【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<2),連接PQ.

(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)連接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.

【答案】
(1)解:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴由勾股定理可得:BA= ;
由題意現(xiàn)分兩種情況討論:
①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí),
∵BP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8,
,解得: ;
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí), ,
,解得,
綜上所述,當(dāng) 時(shí),△BPQ與△ABC相似
(2)解:過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,如圖1所示:

∴∠PMB=∠ACB=90°,
∴PM∥AC,
∴△BPM∽△BAC,
,即 ,
∴PM= ,BM= ,
∴CM= .
∵AQ⊥CP,∠ACB=90°,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM,
∵∠ACQ=∠PMC,
∴△ACQ∽△CMP,
,即 ,解得
【解析】(1)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論;分兩種情況:①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí),BP:BA=BQ:BC;當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí),BP:BC=BQ:BA,再根據(jù)BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,代入計(jì)算即可;
(2)分三種情況:①當(dāng)PB=PQ時(shí),如圖1,過(guò)P作PH⊥BQ,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到,②當(dāng)PB=BQ時(shí),即5t=8-4t,,③當(dāng)BQ=PQ時(shí),如圖2,過(guò)Q作QG⊥AB于G,BQ=8-4t,通過(guò)△BGQ∽△ACB,得到比例式
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的應(yīng)用(測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,⊙O交BC的中點(diǎn)于D,DE⊥AC于E,連接AD,則下列結(jié)論:
①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA= AC;④DE是⊙O的切線,正確的個(gè)數(shù)是( )

A.1 個(gè)
B.2個(gè)
C.3 個(gè)
D.4個(gè)

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【題目】某工廠有甲種原料130kg,乙種原料144kg.現(xiàn)用這兩種原料生產(chǎn)出A,B兩種產(chǎn)品共30件.已知生產(chǎn)每件A產(chǎn)品需甲種原料5kg,乙種原料4kg,且每件A產(chǎn)品可獲利700元;生產(chǎn)每件B產(chǎn)品需甲種原料3kg,乙種原料6kg,且每件B產(chǎn)品可獲利900元.設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件(產(chǎn)品件數(shù)為整數(shù)件),根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的方案有哪幾種;
(2)設(shè)生產(chǎn)這30件產(chǎn)品可獲利y元,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,寫出(1)中利潤(rùn)最大的方案,并求出最大利潤(rùn).

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(1)適用于購(gòu)買文化衫和相冊(cè)的總費(fèi)用為W元,求總費(fèi)用W(元)與購(gòu)買的文化衫件數(shù)t(件)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)購(gòu)買文化衫和相冊(cè)有哪幾種方案?為了使拍照的資金更充足,應(yīng)選擇哪種方案,并說(shuō)明理由.

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材料:因式分解:(x y22(x y1

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原式 A2A 1 ( A 12

再將A還原,得:原式 (x y 12 上述解題時(shí)用到的是整體思想,整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:

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2)因式分解:(a b(a b 4 4

3)證明:若 n 為正整數(shù),則式子(n 1(n 2(n23n 1 的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方.

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A.10B.3C.4D.6

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣2,4)、(﹣3,0)、(4,1).

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3ABC向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.請(qǐng)畫出圖形并寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1B1C1的坐標(biāo).

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