Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D(A在D的右側)，與y軸的交點為C．

（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；

（2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標；

（3）設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)；（2）或；（3）存在，，

【解析】

由題意可知，本題考察二次函數的圖像，性質與梯形．

（1）根據題意A、D、C三點，分別令橫坐標和縱坐標為零，進行求解．

（2）根據題意可求出對稱軸，通過△MAD的面積與△CAD的面積相等，且AD為三角形公共邊，運用對稱以及代入求值法進行求解．

（3）根據題意分別以BC，AP為底，運用一次方程解析式求法以及與二次函數聯(lián)立方程組，進行求解

解：（1）當時，

解得：，

當時，

∴A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)

（2）設M點的坐標為（），可知，

∵

∴

∴,即

∵M點在拋物線上

∴，當時，

解得

當時，

解得0或2

當時，點M與點C重合，故舍去；

綜上所述，M點坐標或

（3）存在；如圖1所示，若,此時梯形為

∵點B為點C關于拋物線對稱軸的對稱點

∴BC與對稱軸垂直，故軸

∴點位于軸上，故點此時與D重合，對稱軸為，，

∵，

∴為梯形，此時點的坐標為(－1，0)

如圖2所示，若，此時梯形為，設直線AB的解析式為：

∵直線過點A(3,0)，B(2,-3)

∴

解得：

∴直線AB的解析式為

∵

∴可設直線的解析式為：

把C(0,-3)代入，可得n=-3

∴直線的解析式為：

∵為直線與拋物線的交點，可得

解得：（舍去）或

將代入，可得，

∴點的坐標為(5,12)

∴

∵，

∴為梯形

綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形，P點的坐標為(-1,0)或(5,12)