【題目】如圖,已知拋物線與x軸的交點為A、D(A在D的右側),與y軸的交點為C.
(1)直接寫出A、D、C三點的坐標;
(2)若點M在拋物線上,使得△MAD的面積與△CAD的面積相等,求點M的坐標;
(3)設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B,在拋物線上是否存在點P,使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(3,0), D(-1,0), C(0,-3);(2)或;(3)存在,,
【解析】
由題意可知,本題考察二次函數的圖像,性質與梯形.
(1)根據題意A、D、C三點,分別令橫坐標和縱坐標為零,進行求解.
(2)根據題意可求出對稱軸,通過△MAD的面積與△CAD的面積相等,且AD為三角形公共邊,運用對稱以及代入求值法進行求解.
(3)根據題意分別以BC,AP為底,運用一次方程解析式求法以及與二次函數聯(lián)立方程組,進行求解
解:(1)當時,
解得:,
當時,
∴A(3,0), D(-1,0), C(0,-3)
(2)設M點的坐標為(),可知,
∵
∴
∴,即
∵M點在拋物線上
∴,當時,
解得
當時,
解得0或2
當時,點M與點C重合,故舍去;
綜上所述,M點坐標或
(3)存在;如圖1所示,若,此時梯形為
∵點B為點C關于拋物線對稱軸的對稱點
∴BC與對稱軸垂直,故軸
∴點位于軸上,故點此時與D重合,對稱軸為,,
∵,
∴為梯形,此時點的坐標為(-1,0)
如圖2所示,若,此時梯形為,設直線AB的解析式為:
∵直線過點A(3,0),B(2,-3)
∴
解得:
∴直線AB的解析式為
∵
∴可設直線的解析式為:
把C(0,-3)代入,可得n=-3
∴直線的解析式為:
∵為直線與拋物線的交點,可得
解得:(舍去)或
將代入,可得,
∴點的坐標為(5,12)
∴
∵,
∴為梯形
綜上所述,在拋物線上存在點P,使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形,P點的坐標為(-1,0)或(5,12)
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點E,頂點A在第二象限,頂點B在y軸的正半軸上,反比例函數y=(k≠0,x>0)的圖象同時經過頂點C,D.若點C的橫坐標為5,BE=3DE,則k的值為( 。
A. B. 3 C. D. 5
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【題目】如圖,點O為直線AB外一定點,點P線段AB上一動點,在直線OP右側作Rt△OPQ,使得∠OPQ=30°,已知AB=3,當點P從點A運動到點B時,點Q運動的路徑長是________.
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【題目】探究規(guī)律:
(1)在一組有理數,3,,,中,若其中任意兩個相鄰數之和都是5,則________;_________;
(2)在一組有理數,,,5,,,中,若其中任意三個相鄰數之和都是,求的值;
(3)在一組有理數,,,…,中,若其中任意四個相鄰數之和都是27,已知,,,,求的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC=2,以AB為直徑的⊙O分別交BC,AC于點D,E,且點D是BC的中點.
(1)求證:△ABC為等邊三角形.
(2)求DE的長.
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【題目】中秋佳節(jié)我國有賞月和吃月餅的傳統(tǒng),某校數學興趣小組為了了解本校學生喜愛月餅的情況,隨機抽取了40名同學進行問卷調查,經過統(tǒng)計后繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.(注:參與問卷調查的每一位同學在任何一種分類統(tǒng)計中只有一種選擇),請根據統(tǒng)計圖完成下列問題:
(1)被調查的40名同學中,“很喜歡”;月餅的學生有 人;條形統(tǒng)計圖中,喜歡“豆沙”月餅的學生有 人;并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若該校共有學生800人,請根據上述調查結果,估計該校學生中“很喜歡”和“比較喜歡”月餅的共有 人.
(3)甲同學最愛吃云腿月餅,現有重量、包裝完全一樣的云腿(A)、豆沙(B)、蓮蓉(C)、蛋黃(D)四種月餅各一個,讓甲任意選兩個,請用畫樹狀圖法或列表法,求出甲選中的月餅都不是他最愛吃的云腿月餅(A)的概率.
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【題目】如圖,在中,是邊上的一點,是的中點,過點作的平行線交的延長線于點,且,連接.
(1)求證:是的中點;
(2)如果,試判斷四邊形的形狀,并證明你的結論.
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【題目】年月日是第個世界讀書日,這一天世界各地都會舉辦諸多與閱讀有關的活動.某書店為了迎接“讀書節(jié)”制定了活動計劃,以下是活動計劃書的部分信息.
“讀書節(jié)”活動計劃書 | ||
書本類別 | 類 | 類 |
進價(單位:元) | 18 | 12 |
備注 | 用不超過16800元購進、兩類圖書共1000本; 類圖書不少于600本; |
(1)陳經理查看計劃書發(fā)現:類圖書的標價是類圖書標價的倍,若顧客用元購買圖書,能單獨購買類圖書的數量恰好比單獨購買類圖書的數量少本.請求出、兩類圖書的標價.
(2)經市場調查后,陳經理發(fā)現他們高估了“讀書節(jié)”對圖書銷售的影響,便調整了銷售方案:類圖書每本按標價降價元銷售, 類圖書價格不變.那么書店應如何進貨才能獲得最大利潤?
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【題目】用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀(如圖1).
科學原理:如圖2,始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H(單位:m),如果在離水面豎直距離為h(單校:cm)的地方開大小合適的小孔,那么從小孔射出水的射程(水流落地點離小孔的水平距離)s(單位:cm)與h的關系為s2=4h(H—h).
應用思考:現用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關研究,水瓶直立地面,通過連注水保證它始終盛滿水,在離水面豎直距高h cm處開一個小孔.
(1)寫出s2與h的關系式;并求出當h為何值時,射程s有最大值,最大射程是多少?
(2)在側面開兩個小孔,這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同,求a,b之間的關系式;
(3)如果想通過墊高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水面的豎直距離.
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