Question

【題目】如圖，在菱形，，.動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)，連接、，取、的中點(diǎn)、，連接、.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.

（1）求證：；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為菱形；

（3）試探究：是否存在某個(gè)時(shí)刻，使四邊形為矩形，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）1；（3）不存在，理由詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，推出△ADF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DFA=∠BEC，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）過D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到四邊形EGFH是菱形，證得四邊形DMEF是矩形，于是得到ME=DF=t列方程即可得到結(jié)論；

（3）不存在，假設(shè)存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)果．

解：（1）證明：∵動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相等，

∴DF=BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，

在△ADF與△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE，

∴∠DFA=∠BEC，

∵AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB，

∴∠FAB=∠BEC，

∴AF∥CE；

（2）如圖，過D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，

∴DF=BE=t，

∵AF∥CE，AB∥CD，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵G、H是AF、CE的中點(diǎn)，

∴GH∥AB，

∵四邊形EGFH是菱形，

∴GH⊥EF，

∴EF⊥AB，∠FEM=90°，

∵DM⊥AB，

∴DM∥EF，

∴四邊形DMEF是矩形，

∴ME=DF=t，

∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，

∴，

∴BE=4-2-t=t，

∴t=1；

（3）不存在，假設(shè)存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形，

∵四邊形EHFG為矩形，

∴EF=GH，

∴，

即，

解得t=0，0＜t＜4，

∴與原題設(shè)矛盾，

∴不存在某個(gè)時(shí)刻t，使四邊形EHFG為矩形．