【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC > BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:DF是BF和CF的比例中項(xiàng);
(2)在AB上取一點(diǎn)G,如果AE·AC=AG·AD,求證:EG·CF=ED·DF.
【答案】證明見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知求得∠BDF=∠BCD,再根據(jù)∠BFD=∠DFC,證明△BFD∽△DFC,從而得BF:DF=DF:FC,進(jìn)行變形即得;
(2)由已知證明△AEG∽△ADC,得到∠AEG=∠ADC=90°,從而得EG∥BC,繼而得 ,
由(1)可得 ,從而得 ,問題得證.
試題解析:(1)∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,
∵CD是Rt△ABC的高,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD,
∵E是AC的中點(diǎn),
∴DE=AE=CE,∴∠A=∠EDA,∠ACD=∠EDC,
∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°,∴∠BDF=∠BCD,
又∵∠BFD=∠DFC,
∴△BFD∽△DFC,
∴BF:DF=DF:FC,
∴DF2=BF·CF;
(2)∵AE·AC=ED·DF,
∴ ,
又∵∠A=∠A,
∴△AEG∽△ADC,
∴∠AEG=∠ADC=90°,
∴EG∥BC,
∴ ,
由(1)知△DFD∽△DFC,
∴ ,
∴ ,
∴EG·CF=ED·DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
尺規(guī)作圖:作已知角的角平分線.
已知:如圖,已知.
求作: 的角平分線.
小霞的作法如下:
(1)如圖,在平面內(nèi)任取一點(diǎn);
(2)以點(diǎn)為圓心, 為半徑作圓,交射線于點(diǎn),交射線于點(diǎn);
(3)連接,過點(diǎn)作射線垂直線段,交⊙于點(diǎn);
(4)連接.
所以射線為所求.
老師說:“小霞的作法正確.”
請(qǐng)回答:小霞的作圖依據(jù)是___________________________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形,,.動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā),以的速度向點(diǎn)、運(yùn)動(dòng),連接、,取、的中點(diǎn)、,連接、.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.
(1)求證:;
(2)當(dāng)為何值時(shí),四邊形為菱形;
(3)試探究:是否存在某個(gè)時(shí)刻,使四邊形為矩形,若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】許多代數(shù)恒等式可以借助圖形的面積關(guān)系直觀表達(dá),如圖①,根據(jù)圖中面積關(guān)系可以得到:。
(1)如圖②,根據(jù)圖中面積關(guān)系,寫出一個(gè)關(guān)于的等式 ;
(2)利用(1)中的等式求解:,則 ;
(3)小明用8個(gè)面積一樣大的長(zhǎng)方形(寬,長(zhǎng))拼圖,拼出了如圖甲、乙的兩種圖案;圖案甲是一個(gè)大的正方形,中間陰影部分是邊長(zhǎng)為3的小正方形;圖案乙是一個(gè)大的長(zhǎng)方形,求的值.
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【題目】將一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如圖①擺放,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)求∠ADE的度數(shù);
(2)如圖②,將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角,此時(shí)等腰直角三角尺記為, 交AC于點(diǎn)M, 交BC于點(diǎn)N,試判斷的值是否隨著的變化而變化?如果不變,請(qǐng)求出的值;反之,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A﹙2,4﹚、C﹙4,n﹚,交y軸于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接OA、OC,求△AOC的面積;
(3)寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的的取值范圍 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,將矩形折疊,使落在對(duì)角線上,折痕為,點(diǎn)落在點(diǎn) 處,若,則 ;
(2)小麗手中有一張矩形紙片,,.她準(zhǔn)備按如下兩種方式進(jìn)行折疊:
①如圖2,點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上,將紙片折疊,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,折痕為,若,求的長(zhǎng);
②如圖3,點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上,將紙片折疊,使落在射線上,折痕為,點(diǎn),分別落在,處,若,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加“英語口語聽力”大賽,在相同的測(cè)試條件下,兩人5次測(cè)試成績(jī)(單位:分)如下:
甲:79,81,82,85,83 乙:88,79,90,81,72.
回答下列問題:
(1)甲成績(jī)的平均數(shù)是 ,乙成績(jī)的平均數(shù)是 ;
(2)求甲、乙兩名同學(xué)測(cè)試成績(jī)的方差S甲2與S乙2.
(3)請(qǐng)你選擇一個(gè)角度來判斷選拔誰參加比賽更合適.
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【題目】如圖,半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)A與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合,AB是圓片的直徑.(結(jié)果保留π)
(1)把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周,點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)C的位置,點(diǎn)C表示的數(shù)是 數(shù)(填“無理”或“有理”),這個(gè)數(shù)是 ;
(2)把圓片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)2周,點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)D的位置,點(diǎn)D表示的數(shù)是 ;
(3)圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù),圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù),依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下:+2,﹣1,+3,﹣4,﹣3.第幾次滾動(dòng)后,A點(diǎn)距離原點(diǎn)最近?第幾次滾動(dòng)后,A點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)?
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