Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB＝AC，D是BC的中點，

∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE．

∴BE＝CE．（運用垂直平分線的性質說明也可）

（2）解：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴△ABF為等腰直角三角形．

∴AF＝BF．由（1）知AD⊥BC，

∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF

【解析】（1）根據等腰三角形的三線合一，得到∠BAE＝∠CAE，再根據SAS得到△ABE≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等，得到BE＝CE；（2）根據已知可得△ABF為等腰直角三角形，得到AF＝BF；由（1）知AD⊥BC，再根據ASA得到△AEF≌△BCF.