【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上.

(1)求證:BE=CE;
(2)如圖2,若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,且BF⊥AC,垂足為F,∠BAC=45°,原題設(shè)其它條件不變.求證:△AEF≌△BCF.

【答案】
(1)證明:∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),

∴∠BAE=∠CAE.

在△ABE和△ACE中,

∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,AE=AE,

∴△ABE≌△ACE.

∴BE=CE.(運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)說明也可)


(2)解:∵∠BAC=45°,BF⊥AF,

∴△ABF為等腰直角三角形.

∴AF=BF.由(1)知AD⊥BC,

∴∠EAF=∠CBF.

在△AEF和△BCF中,AF=BF,∠AFE=∠BFC=90°,∠EAF=∠CBF,

∴△AEF≌△BCF


【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一,得到∠BAE=∠CAE,再根據(jù)SAS得到△ABE≌△ACE,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,得到BE=CE;(2)根據(jù)已知可得△ABF為等腰直角三角形,得到AF=BF;由(1)知AD⊥BC,再根據(jù)ASA得到△AEF≌△BCF.

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