Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12 cm，BC=12cm；動點P從點C開始沿CA以2 cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BC以 2cm/s的速度向點C移動．如果P、Q、R分別從C、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．

（1）∠CAB的度數是；
（2）以CB為直徑的⊙O與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O相切？
（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求S的最小值及相應的t值；
（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30°
（2）解：如圖1，連接OP，OM．

當PM與⊙O相切時，有∠PMO=∠PCO=90°，

∵MO=CO，PO=PO，

∴Rt△PMO≌Rt△PCO，

∴∠MOP=∠COP；

由（1）知∠OBA=60°，

∵OM=OB，

∴△OBM是等邊三角形，

∴∠BOM=60°，

∴∠MOP=∠COP=60°，

∴CP=COtan∠COP=6tan60°=6 ，

又∵

∴2 t=6

∴t=3，

即：t=3s時，PM與⊙O相切；

（3）解：如圖2，過點Q作QE⊥AC于點E，

∵∠BAC=30°，AQ=4t，

∴ AE=AQcos∠BAC=4tcos30°=2 t，

∴

∴S△PQR=S△ACB﹣S△AQP﹣S△QBR﹣S△PCR

，

∴當t=3s時， cm2；

（4）解：存在．如圖3，

分三種情況：

①PQ1=AQ1=4t時，過點Q1作Q1D⊥AC于點D，

則 ，

∴ ，

∴t=2；

②當AP=AQ2=4t時，

∵ ，

∴ ，

③當PA=PQ3=4t時，

過點P作PH⊥AB于點H，

AH=PAcos30°= =18﹣3tAQ3=2AH=36﹣6t，

∴36﹣6t=4t，

∴t=3.6，

綜上所述，當 s時，△APQ是等腰三角形．

【解析】解：（1）∵∠C=90°，CA=12 cm，BC=12cm，

∴tan∠CAB= ，

∴∠CAB=30°，

所以答案是：30°；

【考點精析】根據題目的已知條件，利用銳角三角函數的定義和特殊角的三角函數值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數；分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”．