Question

【題目】如圖1，在△ABC中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧；②以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D；③連結(jié)BD，與AC交于點(diǎn)E，連結(jié)AD，CD．

（1）填空：△ABC≌△ ；AC和BD的位置關(guān)系是

（2）如圖2，當(dāng)AB=BC時(shí)，猜想四邊形ABCD是什么四邊形，并證明你的結(jié)論．

（3）在（2）的條件下，若AC=8cm，BD=6cm，則點(diǎn)B到AD的距離是 cm，若將四邊形ABCD通過(guò)割補(bǔ)，拼成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 cm．

Answer 1

【答案】（1）ADC（SSS），AC⊥BD；（2）四邊形ABCD是菱形，見(jiàn)解析；（3），2.

【解析】

（1）根據(jù)作法和三角形全等的判定方法解答，再根據(jù)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上可得AC⊥BD；

（2）根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明；

（3）設(shè)點(diǎn)B到AD的距離為h，然后根據(jù)菱形的面積等于底邊×高和菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半列方程求解即可；再根據(jù)正方形的面積公式和菱形的面積求解．

（1）由圖可知，AB=AD，CB=CD，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∵AB=AD，

∴點(diǎn)A在BD的垂直平分線(xiàn)上，

∵CB=CD，

∴點(diǎn)C在BD的垂直平分線(xiàn)上，

∴AC垂直平分BD，

∴AC⊥BD；

（2）四邊形ABCD是菱形．

理由如下：由（1）可得AB=AD，CB=CD，

∵AB=BC，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四邊形ABCD是菱形；

（3）設(shè)點(diǎn)B到AD的距離為h，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，且AO=CO=4，BO=DO=3，

在Rt△ADO中，AD==5，

S菱形ABCD=ACBD=ADh，

即×8×6=5h，

解得h=，

設(shè)拼成的正方形的邊長(zhǎng)為a，則a2=×8×6，

解得a=2cm．

所以，點(diǎn)B到AD的距離是cm，拼成的正方形的邊長(zhǎng)為2cm．