Question

【題目】定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM=1，MN=2，求BN的長(zhǎng)；

（2）如圖2，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，直線y=﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)；

（3）如圖3，已知一次函數(shù)y=﹣x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與二次函數(shù)y=x2﹣4x+m交于C、D兩點(diǎn)，若C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)度；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出點(diǎn)A、B、E、F的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出BF、EF、AE的長(zhǎng)度，由BF2+AE2=EF2即可證出E、F是線段AB的勾股點(diǎn)；

（3）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中利用解一元二次方程可得出點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AC、CD、BD的長(zhǎng)度，結(jié)合C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，

∴BN==或BN==，

∴BN的長(zhǎng)為或．

（2）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，

∴b=．

∵直線y=﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；

當(dāng)x=a時(shí)，y=﹣x+2=2﹣a，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；

當(dāng)y=時(shí)，有﹣x+2=，

解得：x=2﹣，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．

∴BF==（2﹣），EF==|2﹣a﹣|，AE==（2﹣a）．

∵BF2+AE2=16+2a2﹣8a+﹣=EF2，

∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，

∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．

（3）∵一次函數(shù)y=﹣x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

將y=﹣x+3代入y=x2﹣4x+m中，整理得：x2﹣3x+m﹣3=0，

解得：xC=，xD=，

∴AC=（xC﹣0）=，CD=（xD﹣xC）=，BD=（2﹣xD）=．

∵C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，

∴AC2=CD2+BD2或CD2=AC2+BD2，即15﹣2m﹣3=42﹣8m+11﹣2m﹣或42﹣8m=11﹣2m﹣+15﹣2m﹣3，

整理得：4m2﹣37m+85=0或m2﹣4m﹣5=0，

解得：m1=，m2=5，m3=﹣1（不合題意，舍去）．

當(dāng)m=5時(shí)，BD==0，

∴m=5不合題意，舍去，

∴m的值為．