Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將∠OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C．

（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0），；（2）直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P；（3）0≤|QA﹣QO|≤4．

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為0，得橫坐標(biāo)為8，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0）；

點(diǎn)B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為0，解得縱坐標(biāo)為6，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）；

由題意得：BC是∠ABO的角平分線，所以O(shè)C=CH，BH=OB=6．∵AB=10，∴AH=4，設(shè)OC=x，則AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），將此三點(diǎn)代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；

（2）求得直線BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等，對(duì)邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得；

（3）如圖，由對(duì)稱性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，Q、H、A三點(diǎn)共線，|QA﹣QO|取得最大值4（即為AH的長）；

設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)為K，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)K重合時(shí)，|QA﹣QO|取得最小值0．

試題解析：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，6），∴可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣8）．

將x=0，y=6代入拋物線的解析式，得，∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為．

（2）可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G．∵直線BC的解析式為y=﹣2x+6．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6）．

解法一：如圖，作OP∥AD交直線BC于點(diǎn)P，連接AP，作PM⊥x軸于點(diǎn)M．

∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD，∴，即．

解得．

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

但此時(shí)OM=，GA=，OM＜GA．

∵OP=，AD=，∠POM=∠GAD，∴OP＜AD，即四邊形的對(duì)邊OP與AD平行但不相等，∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P．

解法二：如圖，取OA的中點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)P，作PN⊥x軸于點(diǎn)N．則∠PEO=∠DEA，PE=DE．

可得△PEN≌△DEG．

由OE=OA=4，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

∵x=時(shí)，-2x+6==1≠，∴點(diǎn)P不在直線BC上，∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P．

（3）|QA﹣QO|的取值范圍是0≤|QA﹣QO|≤4．

當(dāng)Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點(diǎn)時(shí)，（如點(diǎn)K處），此時(shí)OK=AK，則|QA﹣QO|=0，當(dāng)Q在AH的延長線與直線BC交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|QA﹣QO|最大，直線AH的解析式為：，直線BC的解析式為：y=﹣2x+6，聯(lián)立可得：交點(diǎn)為（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范圍是：0≤|QA﹣QO|≤4．