【題目】如圖:AD是正△ABC的高,O是AD上一點(diǎn),⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,分別交AB、AC于E、F
(1)求∠EDF的度數(shù);
(2)若AD=6,求△AEF的周長(zhǎng);
(3)設(shè)EF、AD相較于N,若AE=3,EF=7,求DN的長(zhǎng).
【答案】(1)60°;⑵18;⑶DN=
【解析】
(1)作OI⊥AB于I,OJ⊥AC于J,連接OE,OF,可得△OIE≌△OJF(HL),∠EOF=120°,
可得∠EDF的度數(shù);
(2)設(shè)AD與圓O交于點(diǎn)G,連接FG,AD是正△ABC的高,∠B=∠C=60°,CD=BD, GD是圓O的直徑,由圓與正三角形的對(duì)稱性,可得∠BED=∠ FED, 作DK⊥AB,DL⊥AC,DM⊥EF,可得DK=DL,可得△EKD≌EFD與△DMF≌△DLF,可得△AEF的周長(zhǎng)=AF+AE+EF=2AL,可得答案.
(3)過(guò)E點(diǎn)AC的垂線,長(zhǎng)為,過(guò)E點(diǎn)做AD的垂線,長(zhǎng)為,過(guò)F做AD的垂線,長(zhǎng)為,設(shè)AC=x,==,AF=-10,FC=10-,EB=x-3,BD=DC=,由△FDC∽△DEB,可得,代入可得x的值,由=,可得AN,可求得DN.
解:(1)
AD是正△ABC的高,∴∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
作OI⊥AB于I,OJ⊥AC于J,連接OE,OF,∴OI=OJ,
∴△OIE≌△OJF(HL),∴∠IOE=∠JOF
∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120°,
∴∠EDF=∠EOF=60°
⑵
設(shè)AD與圓O交于點(diǎn)G,連接FG,AD是正△ABC的高,∠B=∠C=60°,CD=BD, GD是圓O的直徑,由圓與正三角形的對(duì)稱性,可得∠BED=∠ FED, 作DK⊥AB,DL⊥AC,DM⊥EF,可得DK=DL
∠BED=∠ FED,DK⊥AB, DM⊥EF,ED=ED
△EKD≌EFD, EK=EM,DK=DM,
在△DMF與△DLF中,
DK=DM=DL, DL⊥AC,DM⊥EF,
△DMF≌△DLF, MF=FL
易得:AK=AL,AL=AC=9
△AEF的周長(zhǎng)=AF+AE+EF=2AL,AL=9,∴=18=
⑶
過(guò)E點(diǎn)AC的垂線,長(zhǎng)為,過(guò)E點(diǎn)做AD的垂線,長(zhǎng)為,過(guò)F做AD的垂線,長(zhǎng)為,
設(shè)AC=x,==,AF=-10,FC=10-,EB=x-3,BD=DC=,
由△FDC∽△DEB,可得,代入得:
,解得:=12,=(舍去),
AF=-10=8,AD==,
=
可得AN=
DN=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線y=(x<0)經(jīng)過(guò)Rt△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,C,∠ABC=90°,AB∥x軸,連接OA,將Rt△ABC沿AC翻折后得到Rt△AB′C,點(diǎn)B′剛好落在線段OA上,連接OC,OC恰好平分OA與x軸負(fù)半軸的夾角,若Rt△ABC的面積為2,則k的值為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對(duì)角線AC繞對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且保持DP=AE,連接PE、PF,設(shè)AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= 。(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開(kāi)展了以“責(zé)任、感恩”為主題的班隊(duì)活動(dòng),活動(dòng)結(jié)束后,初三(2)班數(shù)學(xué)興趣小組提出了5個(gè)主要觀點(diǎn)并在本班學(xué)生中進(jìn)行了調(diào)查(要求每位同學(xué)只選自己最認(rèn)可的一項(xiàng)觀點(diǎn)),并制成了如下扇形統(tǒng)計(jì)圖,
(1)該班有 人,學(xué)生選擇“和諧”觀點(diǎn)的有 人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“和諧”觀點(diǎn)所在扇形區(qū)域的圓心角是 度;
(2)如果該校有360名初三學(xué)生,利用樣本估計(jì)選擇“感恩”觀點(diǎn)的初三學(xué)生約有 人;
(3)如果數(shù)學(xué)興趣小組在這5個(gè)主要觀點(diǎn)中任選兩項(xiàng)觀點(diǎn)在全校學(xué)生中進(jìn)行調(diào)查,求恰好選到“和諧”和“感恩”觀點(diǎn)的概率(用樹(shù)狀圖或列表法分析解答).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在推進(jìn)城鄉(xiāng)義務(wù)教育均衡發(fā)展工作中,我市某區(qū)政府通過(guò)公開(kāi)招標(biāo)的方式為轄區(qū)內(nèi)全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)采購(gòu)了某型號(hào)的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦,其中,A鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)更新學(xué)生用電腦110臺(tái)和教師用筆記本電腦32臺(tái),共花費(fèi)30.5萬(wàn)元;B鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)更新學(xué)生電腦55臺(tái)和教師用筆記本電腦24臺(tái),共花費(fèi)17.65萬(wàn)元.
(1)求該型號(hào)的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦單價(jià)分別是多少萬(wàn)元?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì),全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)需要購(gòu)進(jìn)的教師用筆記本電腦臺(tái)數(shù)比購(gòu)進(jìn)的學(xué)生用電腦臺(tái)數(shù)的少90臺(tái),在兩種電腦的總費(fèi)用不超過(guò)預(yù)算438萬(wàn)元的情況下,至多能購(gòu)進(jìn)的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦各多少臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),AE和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點(diǎn)D,直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接AC,BC,PB:PC=1:2.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)若AD=3,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,BD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直于點(diǎn)D,BD與⊙O交于點(diǎn)E.
(1)求證:BC平分∠DBA;
(2)連接AE和AC,若cos∠ABD=,OA=m,請(qǐng)寫出求四邊形AEDC面積的思路.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線的部分圖象如圖所示,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,拋物線的對(duì)稱軸是下列結(jié)論中:
;;方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;若點(diǎn)在該拋物線上,則.
其中正確的有
A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市射擊隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在相同的條件下各射耙10次,每次射耙的成績(jī)情況如圖所示:
(1)請(qǐng)將下表補(bǔ)充完整:
(2)請(qǐng)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析:
①?gòu)钠骄鶖?shù)和方差相結(jié)合看, 的成績(jī)好些;
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看, 的成績(jī)好些;
③若其他隊(duì)選手最好成績(jī)?cè)?/span>9環(huán)左右,現(xiàn)要選一人參賽,你認(rèn)為選誰(shuí)參加,并說(shuō)明理由.
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