Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，沿CD折疊，使點B落在CA邊上的B′處，展開后，再沿BE折疊，使點C落在BA邊上的C′處，CD與BE交于點F．

（1）求AC′的長度；

（2）求CE的長度；

（3）比較四邊形EC′DF與△BCF面積的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）S四邊形EC′DF＜S△BCF，理由詳見解析．

【解析】

（1）由勾股定理得出AB的長度，根據(jù)翻折可知BC＝BC′，即可求AC′的長度；

（2）設(shè)CE的長為x，根據(jù)翻折可得EC′＝EC，則AE=4-x，在Rt△AC′E中根據(jù)勾股定理即可求C′E的長度；

（3）過點D分別作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，根據(jù)翻折可得CD為∠ACB的角平分線，得出DG=DH，然后由面積法求得DH的長，再求得△BDC和△BEC′的面積，由S△BDC＝S△BFC+S△BDF，S△BEC′＝S四邊形EC′DF+S△BDF，進而可以比較四邊形EC′DF與△BCF面積的大小．

解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，

∴AB=，

根據(jù)翻折可知：BC＝BC′＝3，

∴AC′＝AB﹣BC′＝5﹣3＝2；

（2）由折疊的性質(zhì)可得：

∠BC′E＝∠BCE＝90°=∠AC′E=90°，CE=CE′，

設(shè)CE=x，則C′E=x，AE=4-x，

在Rt△AC′E中，由勾股定理得，

x2+22=(4-x)2，解得x=．

即CE的長度為；

（3）結(jié)論：S四邊形EC′DF＜S△BCF，理由如下：

過點D分別作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

由折疊得，CD為∠ACB的角平分線，∴DG=DH，

∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴×AC×BC=×AC×DG+×BC×DH，

∴3×4=3×DH+4×DH，∴DH=．

∴S△BDC＝BCDH＝3×＝，S△BEC′＝S△BEC＝BCCE＝×3×＝，

∵＞，∴S△BDC＞S△BEC′，

∵S△BDC＝S△BFC+S△BDF，S△BEC′＝S四邊形EC′DF+S△BDF，

∴S四邊形EC′DF＜S△BCF．