Question

【題目】如圖，∠A=∠B=30°，P為AB中點(diǎn)，線段MV繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，且M為射線AC上（不與點(diǎn)d重合）的任意一點(diǎn)，且N為射線BD上（不與點(diǎn)B重合）的一點(diǎn)，設(shè)∠BPN=α．

（1）求證：△APM≌△BPN；

（2）當(dāng)MN=2BN時(shí)，求α的度數(shù)；

（3）若AB=4，60°≤α≤90°，直接寫出△BPN的外心運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）30°；（3）

【解析】

（1）由P為AB的中點(diǎn)，可得PA=PB，再由已知中∠A=∠B=30°，對(duì)頂角∠APM=∠BPN，根據(jù)ASA即可判定△APM≌△BPN；

（2）由（1）中結(jié)論可知PM=PN，即MN=2PN，由已知MN=2BN，可得BN=PN，根據(jù)等邊對(duì)等角，即α=∠B=30°；

（3）當(dāng)α=60°時(shí)，由∠B=30°，可知MN⊥BD，此時(shí)BP的中點(diǎn)為△BPN的外心，當(dāng)α=90°時(shí)，由∠B=30°，此時(shí)BN的中點(diǎn)為△BPN的外心，根據(jù)三角形中位線定理可得△BPN的外心運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為PN的一半，即為.

（1）證明：∵P是AB的中點(diǎn)，∴PA=PB ， 在△APM和△BPN中，

∴△APM≌△BPN（ASA）

（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN ， ∴PM=PN ， ∴MN=2PN ， ∵MN=2BN ， ∴BN=PN ， ∴α=∠B=30°

（3）解：