Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于， 兩點，與軸交于點．

（）求拋物線的解析式．

（）設拋物線的頂點為，點在拋物線的對稱軸上，且，求點的坐標．

（）點在直線上方的拋物線上，是否存在點使的面積最大，若存在，請求出點坐標．

Answer 1

【答案】（）（） 或（）存在， ．

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；

（2）根據（1）得到的函數解析式，可求出D、C的坐標；易證得△OBC是等腰Rt△，若過A作BC的垂線，設垂足為E，在Rt△ABE中，根據∠ABE的度數及AB的長即可求出AE、BE、CE的長；連接AC，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC與△AFP，根據得到的比例線段，即可求出PF的長，也就求得了P點的坐標；

（3）當Q到直線BC的距離最遠時，△QBC的面積最大（因為BC是定長），可過Q作y軸的平行線，交BC于S；根據B、C的坐標，易求出直線BC的解析式，可設出Q點的坐標，根據拋物線和直線BC的解析式，分別表示出Q、S的縱坐標，即可得到關于QS的長以及Q點橫坐標的函數關系式，以QS為底，B、C橫坐標差的絕對值為高可得到△QBC的面積，由于B、C橫坐標差的絕對值為定值，那么QS最長時，△QBC的面積最大，此時Q離BC的距離最遠；可根據上面得到的函數的性質求出QS的最大值及對應的Q點橫坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出Q點的坐標．

試題解析：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴，

解得： ，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x﹣3；

（2）由y=﹣x2﹣4x﹣3，可得D（﹣2，1），C（0，﹣3），∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，CB=，如圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，∴AF=AB=1，過點A作AE⊥BC于點E，∴∠AEB=90°，可得BE=AE= ，CE=，在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP，∴， ，解得PF=2，∵點P在拋物線的對稱軸上，∴點P的坐標為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）存在，因為BC為定值，當點Q到直線BC的距離最遠時，△BCQ的面積最大，設直線BC的解析式y=kx+b，直線BC經過B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，

解得：k=﹣1，b=﹣3，∴直線BC的解析式y=﹣x﹣3，設點Q（m，n），過點Q作QH⊥BC于H，并過點Q作QS∥y軸交直線BC于點S，則S點坐標為（m，﹣m﹣3），∴QS=n﹣（﹣m﹣3）=n+m+3，∵點Q（m，n）在拋物線y=﹣x2﹣4x﹣3上，∴n=﹣m2﹣4m﹣3，∴QS=﹣m2﹣4m﹣3+m+3=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，當m=﹣時，QS有最大值，∵BO=OC，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°．

∵QS∥y軸，∴∠QSH=45°，∴△QHS是等腰直角三角形，∴當斜邊QS最大時QH最大，∵當m=﹣時，QS最大，∴此時n=﹣m2﹣4m﹣3=﹣+6﹣3=，∴Q（﹣， ），∴Q點的坐標為（﹣， ）時，△BCQ的面積最大．