【題目】如圖:AD是正△ABC的高,O是AD上一點,⊙O經(jīng)過點D,分別交AB、AC于E、F
(1)求∠EDF的度數(shù);
(2)若AD=6,求△AEF的周長;
(3)設(shè)EF、AD相較于N,若AE=3,EF=7,求DN的長.
【答案】(1)60°;⑵18;⑶DN=
【解析】
(1)作OI⊥AB于I,OJ⊥AC于J,連接OE,OF,可得△OIE≌△OJF(HL),∠EOF=120°,
可得∠EDF的度數(shù);
(2)設(shè)AD與圓O交于點G,連接FG,AD是正△ABC的高,∠B=∠C=60°,CD=BD, GD是圓O的直徑,由圓與正三角形的對稱性,可得∠BED=∠ FED, 作DK⊥AB,DL⊥AC,DM⊥EF,可得DK=DL,可得△EKD≌EFD與△DMF≌△DLF,可得△AEF的周長=AF+AE+EF=2AL,可得答案.
(3)過E點AC的垂線,長為,過E點做AD的垂線,長為,過F做AD的垂線,長為,設(shè)AC=x,==,AF=-10,FC=10-,EB=x-3,BD=DC=,由△FDC∽△DEB,可得,代入可得x的值,由=,可得AN,可求得DN.
解:(1)
AD是正△ABC的高,∴∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
作OI⊥AB于I,OJ⊥AC于J,連接OE,OF,∴OI=OJ,
∴△OIE≌△OJF(HL),∴∠IOE=∠JOF
∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120°,
∴∠EDF=∠EOF=60°
⑵
設(shè)AD與圓O交于點G,連接FG,AD是正△ABC的高,∠B=∠C=60°,CD=BD, GD是圓O的直徑,由圓與正三角形的對稱性,可得∠BED=∠ FED, 作DK⊥AB,DL⊥AC,DM⊥EF,可得DK=DL
∠BED=∠ FED,DK⊥AB, DM⊥EF,ED=ED
△EKD≌EFD, EK=EM,DK=DM,
在△DMF與△DLF中,
DK=DM=DL, DL⊥AC,DM⊥EF,
△DMF≌△DLF, MF=FL
易得:AK=AL,AL=AC=9
△AEF的周長=AF+AE+EF=2AL,AL=9,∴=18=
⑶
過E點AC的垂線,長為,過E點做AD的垂線,長為,過F做AD的垂線,長為,
設(shè)AC=x,==,AF=-10,FC=10-,EB=x-3,BD=DC=,
由△FDC∽△DEB,可得,代入得:
,解得:=12,=(舍去),
AF=-10=8,AD==,
=
可得AN=
DN=
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【題目】將號碼分別為1,2,3,…,9的九個小球放入一個袋中,這些小球僅號碼不同,其余完全相同,甲從袋中摸出一個球,號碼為a,放回后乙再摸出一個球,號碼為b,則使不等式成立的事件發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,點P在等邊△ABC的內(nèi)部,且PC=6,PA=8,PB=10,將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C,連接AP',則sin∠PAP'的值為________.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E在AD邊上運動,且不與點A和點D重合,連結(jié)CE,過點C作CF⊥CE交AB的延長線于點F,EF交BC于點G.
(1)求證:△CDE≌△CBF;
(2)當(dāng)DE=時,求CG的長;
(3)連結(jié)AG,在點E運動過程中,四邊形CEAG能否為平行四邊形?若能,求出此時DE的長;若不能,說明理由.
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【題目】在推進城鄉(xiāng)義務(wù)教育均衡發(fā)展工作中,我市某區(qū)政府通過公開招標的方式為轄區(qū)內(nèi)全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)采購了某型號的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦,其中,A鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)更新學(xué)生用電腦110臺和教師用筆記本電腦32臺,共花費30.5萬元;B鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)更新學(xué)生電腦55臺和教師用筆記本電腦24臺,共花費17.65萬元.
(1)求該型號的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦單價分別是多少萬元?
(2)經(jīng)統(tǒng)計,全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)需要購進的教師用筆記本電腦臺數(shù)比購進的學(xué)生用電腦臺數(shù)的少90臺,在兩種電腦的總費用不超過預(yù)算438萬元的情況下,至多能購進的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦各多少臺?
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,下列結(jié)論中,正確結(jié)論的有( )個.
①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,拋物線y=mx2-2mx-3m(m>0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點M為拋物線的頂點,且OC=OB.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若拋物線上有一點P,連PC交線段BM于Q點,且S△BPQ=S△CMQ,求P點的坐標.
(3)把拋物線沿x軸正半軸平移n個單位,使平移后的拋物線交直線BC于E、F兩點,且E、F關(guān)于點B對稱,求n的值.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°)得到△DEC,設(shè)CD交AB于F,連接AD,△ADF是等腰三角形旋轉(zhuǎn)角α度數(shù)為( )
A. 20° B. 40° C. 20°或40° D. 60°
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45°,sinB=, AD=4.
(1)求BC的長;
(2)求tan∠DAE的值.
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