Question

某倉(cāng)庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．

（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí)△EMN的面積；

（2）設(shè)MN與AB之間的距離為米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)； 

（3）請(qǐng)你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值，若有，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米.

所以，S_△EMN==0.5（平方米）.

即△EMN的面積為0.5平方米.

（2）①如圖1所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，

即0＜x≤1時(shí)， 

△EMN的面積S==；

②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，

即1＜x＜時(shí)，

如圖，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，

∵ E為AB中點(diǎn)，

∴ F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD,且FG＝.

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴ ，即  

故△EMN的面積S＝

＝；

綜合可得： 

  

（3）①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，，所以有；

②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=.

因而，當(dāng)（米）時(shí),S得到最大值，

最大值S===（平方米）. 

∵

∴ S有最大值，最大值為平方米.