【題目】小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究:
問題情境:如圖1,四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn),連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F,求證:S四邊形ABCD=SABF . (S表示面積)

問題遷移:如圖2:在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P.過點(diǎn)P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N.小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn),△MON的面積存在最小值,請(qǐng)問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí),△MON的面積最小,并說明理由.

實(shí)際應(yīng)用:如圖3,若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情,防疫部門計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線,建立一個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,試求△MON的面積.(結(jié)果精確到0.1km2)(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,tan66°≈2.25, ≈1.73)
拓展延伸:如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為(6,0)(6,3)( , )、(4、2),過點(diǎn)p的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交,將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形,求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.

【答案】解:問題情境:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn),
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴SADE=SFCE ,
∴S四邊形ABCE+SADE=S四邊形ABCE+SFCE ,
即S四邊形ABCD=SABF
問題遷移:出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小,如圖2,
過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F,設(shè)PF<PE,過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G,
由問題情境可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S四邊形MOFG=SMON
∵S四邊形MOFG<SEOF ,
∴SMON<SEOF ,
∴當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最。
實(shí)際運(yùn)用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1 , M1 ,
在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1= OP=2,OP1=2
由問題遷移的結(jié)論知道,當(dāng)PM=PN時(shí),△MON的面積最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB= ,
2.25=
∴OM1= ,
∴M1P1=P1N=2 ,
∴ON=OP1+P1N=2 +2 =4
∴SMON= ONMM1= (4 )×4=8 ≈10.3km2
拓展延伸:①如圖4,當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N,延長OC、AB交于點(diǎn)D,
∵C( , ),
∴∠AOC=45°,
∴AO=AD.
∵A(6,0),
∴OA=6,
∴AD=6.
∴SAOD= ×6×6=18,
由問題遷移的結(jié)論可知,當(dāng)PN=PM時(shí),△MND的面積最小,
∴四邊形ANMO的面積最大.
作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分別為P1 , M1 ,
∴M1P1=P1A=2,
∴OM1=M1M=2,
∴MN∥OA,
∴S四邊形OANM=SOMM1+S四邊形ANMM1= ×2×2+2×4=10
②如圖5,當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N,延長CB交x軸于T,
∵C( )、B(6,3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得:
∴y=﹣x+9,
當(dāng)y=0時(shí),x=9,
∴T(9,0).
∴SOCT= 9=
由問題遷移的結(jié)論可知,當(dāng)PM=PN時(shí),△MNT的面積最小,
∴四邊形CMNO的面積最大.
∴NP1=M1P1 , MM1=2PP1=4,
∴4=﹣x+9,
∴x=5,
∴M(5,4),
∴OM1=5.
∵P(4,2),
∴OP1=4,
∴P1M1=NP1=1,
∴ON=3,
∴NT=6.
∴SMNT= ×4×6=12,
∴S四邊形OCMN= ﹣12= <10.
∴綜上所述:截得四邊形面積的最大值為10.



【解析】問題情境:根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出SADE=SFCE就可以得出結(jié)論;
問題遷移:根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小,過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論;
實(shí)際運(yùn)用:如圖3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分別為P1 , M1 , 再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論;
拓展延伸:分情況討論當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N,延長OC、AB交于點(diǎn)D,由條件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面積,再根據(jù)問題遷移的結(jié)論就可以求出最大值;
當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N,延長CB交x軸于T,由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式,就可以求出T的坐標(biāo),從而求出△OCT的面積,再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值,通過比較就可以求出結(jié)論.

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