【題目】觀察猜想:(1)如圖①,在RtABC中,∠BAC90°,ABAC3,點D與點A重合,點E在邊BC上,連接DE,將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF,連接BF,BEBF的位置關系是   BE+BF   ;

探究證明:(2)在(1)中,如果將點D沿AB方向移動,使AD1,其余條件不變,如圖②,判斷BEBF的位置關系,并求BE+BF的值,請寫出你的理由或計算過程;

拓展延伸:(3)如圖③,在△ABC中,ABAC,∠BACa,點D在邊BA的延長線上,BDn,連接DE,將線段DE繞著點D順時針旋轉,旋轉角∠EDFa,連接BF,則BE+BF的值是多少?請用含有n,a的式子直接寫出結論.

【答案】觀察猜想:(1BFBEBC;探究證明:(2BFBE,BF+BE,見解析;拓展延伸:(3BF+BE.

【解析】

1)只要證明△BAF≌△CAE,即可解決問題;

2)如圖②中,作DHACBCH.利用(1)中結論即可解決問題;

3)如圖③中,作DHACBC的延長線于H,作DMBCM.只要證明△BDF≌△HDE,可證BF+BEBH,即可解決問題.

1)如圖①中,

∵∠EAF=∠BAC90°,

∴∠BAF=∠CAE,

AFAEABAC,

∴△BAF≌△CAE,

∴∠ABF=∠C,BFCE,

ABAC,∠BAC90°,

∴∠ABC=∠C45°,

∴∠FBE=∠ABF+∠ABC90°,BCBE+ECBE+BF

故答案為BFBE,BC;

2)如圖②中,作DHACBCH

DHAC,

∴∠BDH=∠A90°,△DBH是等腰直角三角形,

由(1)可知,BFBE,BF+BEBH,

ABAC3,AD1

BDDH2,

BH2

BF+BEBH2;

3)如圖③中,作DHACBC的延長線于H,作DMBCM

ACDH,

∴∠ACH=∠H,∠BDH=∠BACα,

ABAC

∴∠ABC=∠ACB

∴∠DBH=∠H,

DBDH,

∵∠EDF=∠BDHα,

∴∠BDF=∠HDE,

DFDEDBDH,

∴△BDF≌△HDE

BFEH,

BF+BEEH+BEBH,

DBDH,DMBH,

BMMH,∠BDM=∠HDM,

BMMHBDsin

BF+BEBH2nsin

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