Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，tanA= ，點D是邊AC上一點，連接BD，并將△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在邊AB上的點E處，過點D作DF⊥BD，交AB于點F．

（1）求證：∠ADF=∠EDF；
（2）探究線段AD，AF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若EF=1，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DF⊥DB，

∴∠BDF=90°，

∴∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，

由折疊性質(zhì)得：∠BDE=∠BDC，

∴∠ADF=∠EDF；

（2）

解：AD，AF，AB之間的數(shù)量關(guān)系為AD2=AFAB，理由如下：

由折疊性質(zhì)得：∠DEF=∠BDF=∠C=90°，

∴∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，

∴∠EDF=∠ABD，

∴∠ADF=∠DBA，

∵∠A=∠A，

∴△ADF∽△ABD，

∴AF：AD=AD：AB，

∴AD2=AFAB；

（3）

解：在Rt△ADE中，tanA=DE：AE= ：1，

設(shè)AE=x，則DE= x，

由勾股定理得：AD= = = x，

∵∠ABD=∠EDF，∠AED=∠DEF，

∴△BDE∽△DFE，

∴DE：EF=BE：DE，即DE2=EFEB，

∴（ x）2=1×BE，即BE=2x2，

由（2）知AD2=AFAB，

∴（ x）2=（AE﹣EF）（AE+BE）=（x﹣1）×（x+2x2），

即3x2=（x﹣1）×（x+2x2），

解得：x=1+ ，x=1﹣ （不合題意舍去），

∴BE=2x2=2（1+ ）2=5+2 ，

由折疊可知，BC=BE=5+2 ．

【解析】（1）由已知可得∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，再由折疊的性質(zhì)得∠BDE=∠BDC，即可得出結(jié)論；（2）由折疊的性質(zhì)與已知得∠DEF=∠BDF=∠C=90°，推出∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，得出∠EDF=∠ABD，∠ADF=∠DBA，證得△ADF∽△ABD，對應邊成比例即可得出結(jié)果；（3）在Rt△ADE中，tanA=DE：AE= ：1，設(shè)AE=x，則DE= x，由勾股定理可解得AD= x，證得△BDE∽△DFE，得出DE2=EFEB，解得BE=2x2 ， 再由（2）知AD2=AFAB，即（ x）2=（AE﹣EF）（AE+BE）=（x﹣1）×（x+2x2），解得x的值，即可得出結(jié)果．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．