Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（8,0）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從O出發(fā)以相同速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)t= 時(shí)，∠OPQ=45°；

（2）如圖2，以PQ為斜邊在第一象限作等腰Rt△PQM，求M點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)R位x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且,點(diǎn)M關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)為N，求t為何值時(shí)，△ONR為等腰直角三角形；

Answer 1

【答案】（1）t=2；（2）M(4,4)；（3）t為秒或秒時(shí)，△ONR為等腰直角三角形．

【解析】

（1）先由運(yùn)動(dòng)知，OP=8-2t，OQ=2t，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；

（2）先判斷出△MCQ≌△MBP，得出CQ=BP，MC=MB，即可得出點(diǎn)M的縱橫坐標(biāo)相等，用CQ=BP建立方程即可得出結(jié)論；

（3）利用等腰直角三角形和對(duì)稱性確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)，分三種情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論．

(1)由運(yùn)動(dòng)知，AP=2t，OQ=2t，

∵A(8,0)，

∴OA=8，

∴0t<4，OP=82t，

在Rt△POQ中,∠OPQ=45°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=OQ，

∴82t=2t，

∴t=2

(2)如圖2,

過(guò)點(diǎn)M作MB⊥x軸于B，作MC⊥y軸于C，

∴四邊形OBMC是矩形，

∴∠BMC=90°，

∵△PMQ是等腰直角三角形，

∴MQ=MP,∠PMQ=90°，

∴∠CMQ=∠BMP，

在△MCQ和△MBP中,

，

∴△MCQ≌△MBP，

∴CQ=BP.MC=MB，

∴設(shè)M(m,m)，

∴B(m,0),C(0,m)，

∵OQ=2t，OP=82t，

∴Q(0,2t),P(82t,0)，

∴CQ=|m2t|.BP=|82tm|，

∴|m2t|=|82tm|，

∴m=4，

∴M(4,4)，

(3)如圖,∵點(diǎn)M，N關(guān)于PQ對(duì)稱，

∴點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，MN⊥PQ于G，

∵△PMQ是等腰直角三角形，

∴QG=PG，

∴點(diǎn)G是PQ的中點(diǎn)，

由(2)知,Q(0,2t),P(82t,0)，

∴G(4t,t)，

∴點(diǎn)N(42t,2t4)，

∵點(diǎn)R為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且OR=OP

∴R(t4,0)，

∵△ONR為等腰直角三角形，

∴①、當(dāng)∠ORN=90°，OR=RN時(shí)，

∴點(diǎn)N，R的橫坐標(biāo)相等，

∴4-2t=t4，

∴t=，

②當(dāng)∠RON=90°，ON=OR時(shí)，
∴點(diǎn)N在y軸上，
∴4-2t=0，4-t=2t-4
∴t=2，t=，此種情況不存在；

③當(dāng)∠ONR=90°，ON=NR時(shí)，
∴點(diǎn)N在OR的垂直平分線上，且點(diǎn)N到OR的距離等于OR，
∴4-2t=（t-4+0）①，且|2t-4|=|4-t|②，
解①得，t= ，解②得，t=或t=，
∴t=，
即：t為秒或秒時(shí)，△ONR為等腰直角三角形．