Question

【題目】【問題提出】

平面上，若點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，則稱點(diǎn)P是A、B、C三點(diǎn)的巧妙點(diǎn)．若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，也稱點(diǎn)P是△ABC的巧妙點(diǎn)．

【初步思考】

（1）如圖①，在等邊△ABC的內(nèi)部和外部各作一個△ABC的巧妙點(diǎn)．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，點(diǎn)D、E是△ABC的兩個巧妙點(diǎn)，其中AD＝AB，AE＝AC，BD＝BC＝CE，連接DE，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．求證： DA2＝DB·DE．

【深入研究】

（3）在△ABC中，AB＝AC，若存在一點(diǎn)P，使PB＝BA，PA＝PC．點(diǎn)P可能為△ABC的巧妙點(diǎn)嗎？若可能，請畫出示意圖，并直接寫出∠BAC的度數(shù)；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；

（2）證明見解析；

（3）點(diǎn)P能為△ABC的巧妙點(diǎn)，畫出示意圖見解析，畫圖見解析， ， ， 或

【解析】（1）根據(jù)“巧妙點(diǎn)”的定義利用：點(diǎn)P在三角形的內(nèi)部時，點(diǎn)P到△ABC的三個頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)P是三角形的外心；點(diǎn)P在三角形的外部時，每條邊的垂直平分線上的點(diǎn)只要能夠使頂點(diǎn)這條邊的兩端點(diǎn)連接而成的三角形是等腰三角形即可；（2）先證明△ADB≌△ABC，△ACE≌△ABC，得到相等的角，再證明∠BMD=∠ABD，得到DB=DM．最后證明△DAM∽△DEA，得到，即DA=DMDE，由DM=DB，所以DA=DBDE．

（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一點(diǎn)P，使PB=BA，PA=PC．點(diǎn)P能為△ABC的巧妙點(diǎn)，分別畫出圖形即可解答．

本題解析：（1） 如下圖

（2）

∴

∴

∴

∴ ∴ ,

又 ∵ ∴ DA2＝DB·DE

（3）第一種如圖①或②（只需畫出一個即可），

第二種如圖③，

第三種如圖④，

第四種如圖⑤，