Question

【題目】在△ABC中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧．例如，下圖中是△ABC的一條中內(nèi)�。�

（1）如圖，在Rt△ABC中，分別是的中點(diǎn)．畫出△ABC的最長的中內(nèi)弧，并直接寫出此時(shí)的長；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在△ABC中，分別是的中點(diǎn)．

①若，求△ABC的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①P的縱坐標(biāo)或；②.

【解析】

（1）由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2，最長中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓，的長即以DE為直徑的圓周長的一半；
（2）根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，，①當(dāng)時(shí)，要注意圓心P在DE上方的中垂線上均符合要求，在DE下方時(shí)必須AC與半徑PE的夾角∠AEP滿足90°≤∠AEP＜135°；②根據(jù)題意，t的最大值即圓心P在AC上時(shí)求得的t值．

解：（1）如圖2，

以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長的中內(nèi)弧，連接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，，

∴弧；

（2）如圖3，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FP，作EG⊥AC交FP于G，

①當(dāng)時(shí)，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，

設(shè)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，∴m≥1，

∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC
∴∠AED=∠ACO=45°
作EG⊥AC交直線FP于G，FG=EF=

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方（含點(diǎn)G）直線FP上時(shí)也符合要求；

綜上所述，或m≥1．

②圖4，設(shè)圓心P在AC上，

∵P在DE中垂線上，
∴P為AE中點(diǎn)，作PM⊥OC于M，則PM=

，

∵DE∥BC
∴∠ADE=∠AOB=90°，

∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP

由三角形中內(nèi)弧定義知，PD≤PM

，AE≤3，即，解得：