【題目】在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,點P在線段BC上(不含點B),∠BPE= ∠ACB,PE交BO于點E,過點B作BF⊥PE,垂足為F,交AC于點G.
(1)當點P與點C重合時(如圖①),求證:△BOG≌△POE;
(2)結(jié)合圖②,通過觀察、測量、猜想: 與 的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖③),若AC=8,BD=6,直接寫出 的值.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,P與C重合,
∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°,
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,
∴∠GBO=90°﹣∠BGO,∠EPO=90°﹣∠BGO,
∴∠GBO=∠EPO,
在△BOG和△POE中,
∴△BOG≌△POE(ASA);
(2)解:猜想 = .
證明:如圖2,過P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB.
∵∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠NBP=∠NPB.
∴NB=NP.
∵∠MBN=90°﹣∠BMN,∠NPE=90°﹣∠BMN,
∴∠MBN=∠NPE,
在△BMN和△PEN中,
∴△BMN≌△PEN(ASA),
∴BM=PE.
∵∠BPE= ∠ACB,∠BPN=∠ACB,
∴∠BPF=∠MPF.
∵PF⊥BM,
∴∠BFP=∠MFP=90°.
在△BPF和△MPF中,
∴△BPF≌△MPF(ASA).
∴BF=MF.
即BF= BM.
∴BF= PE.
即 = ;
故答案為 ;
(3)解:如圖3,
過P作PM∥AC交BG于點M,交BO于點N,
∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=90°,
在Rt△BOC中,OC= AC=4,OB= BD=3,
∴tan∠ACB= =
由(2)同理可得:BF= BM,∠MBN=∠EPN,
∵∠BNM=∠PNE=90°,
∴△BMN∽△PEN.
∴ .
在Rt△BNP中,tan∠ACB= = ,
∴ =tan∠ACB= .
即 = .
∴ = × = .
【解析】(1)先依據(jù)正方形的性質(zhì)以及P與C重合,可證明OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°,由同角的余角相等可得到∠GBO=∠EPO,然后依據(jù)ASA可得到△BOG≌△POE;
(2)過P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,然后依據(jù)ASA可證明△BMN≌△PEN、△BPF≌△MPF(ASA),從而可得到BM=PE,BF=BM.則可求得 的值;
(3)過P作PM∥AC交BG于點M,交BO于點N,由(2)可知到BF=,∠MBN=∠EPN,然后再可證明△BMN∽△PEN,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì),需要了解正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,BD、CE交于點F.
(1)求證:BD=CE;(2)求銳角∠BFC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A(3,2)和點M(m,n)都在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像上,
(1)求k的值,并求當m=4時,直線AM的解析式;
(2)過點M作MP⊥x軸,垂足為P,過點A作AB⊥y軸,垂足為B,直線AM交x軸于點Q,試說明四邊形ABPQ是平行四邊形;
(3)在(2)的條件下,四邊形ABPQ能否為菱形?若能,請求出m的值;若不是,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為a的正方形,點G,E分別是邊AB,BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.
(1)證明:∠BAE=∠FEC;
(2)證明:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面積.
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【題目】列方程解應(yīng)用題
情景:
試根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)購買6根跳繩需___________元,購買12根跳繩需_____________元.
(2)小紅比小明多買2根,付款時小紅反而比小明少5元,你認為有這種可能嗎?若有,請求出小紅購買跳繩的根數(shù);若沒有,請說明理由.
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【題目】用配方法解下列方程時,配方有錯誤的是( )
A.x2﹣2x﹣99=0化為(x﹣1)2=100
B.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25
C.2t2﹣7t﹣4=0化為(t﹣ )2=
D.3x2﹣4x﹣2=0化為(x﹣ )2=
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【題目】2017年10月31日,在廣州舉行的世界城市日全球主場活動開幕式上,住建部公布許昌成為“國家生態(tài)園林城市”在2018年植樹節(jié)到來之際,許昌某中學(xué)購買了甲、乙兩種樹木用于綠化校園.若購買7棵甲種樹和4棵乙種樹需510元;購買3棵甲種樹和5棵乙種樹需350元.
(1)求甲種樹和乙種樹的單價;
(2)按學(xué)校規(guī)劃,準備購買甲、乙兩種樹共200棵,且甲種樹的數(shù)量不少于乙種樹的數(shù)量的,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=4-x與兩坐標軸分別相交于A、B點,點M是線段AB上任意一點(A、B兩點除外),過M分別作MC⊥OA于點C,MD⊥OB于點D。
(1)當點M在AB上運動時,四邊形OCMD的周長為________;
(2)當四邊形OCMD為正方形時,將正方形OCMD沿著x軸的正方向移動,設(shè)平移的距離為a (0<a≤4),在平移過程中:
①當平移距離a=1時, 正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為________;
②當平移距離a是多少時,正方形OCMD的面積被直線AB分成l:3兩個部分?
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