Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式為：；

（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和軸分別交于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①求的最大值；

②連接，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②，

【解析】

（1）將點(diǎn)，代入拋物線，求出b、c的值，繼而求出拋物線解析式；

（2）①先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，作軸于點(diǎn)，可得： ，由線段的和差可得：，代入數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)，有最大值；

②作軸于點(diǎn)，記直線與軸交于點(diǎn)，易知，由等角對(duì)等邊可知：EN＝EF，OH＝ON，由拋物線的性質(zhì)可得MG＝1，繼而可得HG＝，根據(jù)相似三角形的判定及其性質(zhì)可得，，代入數(shù)據(jù)可得，在中，由勾股定理可得，可得一元二次方程，繼而解方程求解．

（1）將點(diǎn)，代入拋物線得：

解得：

故拋物線的解析式為：；

（2）①當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)，又點(diǎn)，

的解析式為：，

，

，

作軸于點(diǎn)，又，

，

，

，

化簡(jiǎn)得：，

由題意有，且，，

當(dāng)時(shí)，取最大值，

的最大值為

②作軸于點(diǎn)，記直線與軸交于點(diǎn)，

軸，軸，，

，

，

，

，的對(duì)稱(chēng)軸為，

，，

，又∠EHF＝∠GHE，

，

，

在中，，

，

解得：或