【題目】開口向下的拋物線y=a(x+1)(x﹣4)與x軸的交點(diǎn)為A、B(A在B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.連接AC、BC.
(1)若△ABC是直角三角形(圖1),求二次函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,將拋物線沿y軸的負(fù)半軸向下平移k(k>0)個(gè)單位,使平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),求k的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4)時(shí)(圖2),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P沿折線COB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,點(diǎn)Q沿拋物線(在第一象限的部分)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,若P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同,請(qǐng)問誰先到達(dá)點(diǎn)B?請(qǐng)說明理由.(參考數(shù)據(jù):.6,)
【答案】(1);(2);(3)點(diǎn)P先到達(dá)點(diǎn)B.
【解析】
(1)根據(jù)已知的拋物線解析式,可求得A、B的坐標(biāo),在Rt△ABC中,OC⊥AB,利用射影定理的得到OC2=OAOB(或由相似三角形證得),即可得到OC的長,從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo),將其代入拋物線的解析式中,即可確定a的值,從而求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)(1)所得拋物線的解析式,可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo),由于函數(shù)圖象的平移方法已經(jīng)確定,即沿y軸負(fù)半軸向下平移,若拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),則有兩種情況:
①C、O重合,此時(shí)拋物線向下平移了OC長個(gè)單位,
②拋物線的頂點(diǎn)落在x軸上,此時(shí)拋物線向下平移的單位長度與(1)的拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,
綜合上述兩種情況,即可求得k的值;
(3)當(dāng)C(0,4)時(shí),可根據(jù)其坐標(biāo)確定此時(shí)拋物線的解析式,進(jìn)而求得其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);P點(diǎn)的移動(dòng)距離易求得(即OC+OB),而Q點(diǎn)的軌跡是一條曲線,無法直接求得,因此需要化曲為直,間接的和P點(diǎn)的移動(dòng)距離進(jìn)行比較;連接CD、BD,根據(jù)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo),即可求得CD、BD的長,從而確定BD+CD同OC+OB的大小關(guān)系,顯然Q點(diǎn)移動(dòng)距離要大于CD+BD,這樣就判斷出P、Q兩點(diǎn)的路程誰大誰小,由于兩點(diǎn)的速度相同,那么路程短的就先到達(dá)B點(diǎn).
解:拋物線y=a(x+1)(x﹣4)與x軸的交點(diǎn)為A(﹣1,0)、B(4,0).
(1)若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=90°.
由題意易得△ACO∽△COB,
∴,
∴,
∴CO=2
∵拋物線開口向下,
∴C(0,2)
把C(0,2)代入得:
(0+1)(0﹣4)a=2,
∴;
(2)由可得:
拋物線的頂點(diǎn)為(,),點(diǎn)C(0,2),
當(dāng)點(diǎn)C向下平移到原點(diǎn)時(shí),
平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),
∴k=2
當(dāng)頂點(diǎn)向下平移到x軸時(shí),
平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),
∴;
(3)當(dāng)點(diǎn)C為(0,4)時(shí),拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣4),
拋物線的頂點(diǎn)為D(,)
連接DC、DB
∵D(,),B(4,0),C(0,4),
∴CD=,
DB=;
∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8,
∴DB+DC>CO+OB
由函數(shù)圖象可知第一象限內(nèi)的拋物線的長度比CD+DB還要長
所以第一象限內(nèi)的拋物線的長度要大于折線C→O→B的長度
所以點(diǎn)P先到達(dá)點(diǎn)B.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=x+1交y軸于點(diǎn)A1,點(diǎn)A2,A3,…,An在直線l上,點(diǎn)B1,B2,B3,…,Bn在x軸的正半軸上,若△OA1B1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,△AnBn﹣1Bn依次均為等腰直角三角形,則點(diǎn)B1的坐標(biāo)是_____;點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是_____.
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【題目】如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2cm,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止.設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs.能反映ycm2與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園的人工湖邊上有一座假山,假山頂上有一豎起的建筑物CD,高為10米,數(shù)學(xué)小組為了測(cè)量假山的高度DE,在公園找了一水平地面,在A處測(cè)得建筑物點(diǎn)D(即山頂)的仰角為35°,沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)B點(diǎn),測(cè)得建筑物頂部C點(diǎn)的仰角為45°,求假山的高度DE.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈)
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).請(qǐng)完成如圖所示的畫圖,要求:①僅用無刻度的直尺,②不寫畫法,保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖1中畫出一條長為的線段MN(M,N分別為格點(diǎn))
(2)在圖2中畫出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn),以AB為一邊的正方形ABCD;
(3)在圖3中,E,F分別為格點(diǎn),畫出線段EF的垂直平分線l.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),AF∥ED,AE∥DF
(1)求證:四邊形AEDF為菱形;
(2)試探究:當(dāng)AB:BC= ,菱形AEDF為正方形?請(qǐng)說明理由.
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【題目】某品牌牛奶供應(yīng)商提供A,B,C,D四種不同口味的牛奶供學(xué)生飲用.某校為了了解學(xué)生對(duì)不同口味的牛奶的喜好,對(duì)全校訂牛奶的學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的信息解決下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生有多少人?
(2)補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C對(duì)應(yīng)的中心角度數(shù)是_____;
(4)若該校有600名學(xué)生訂了該品牌的牛奶,每名學(xué)生每天只訂一盒牛奶,要使學(xué)生能喝到自己喜歡的牛奶,則該牛奶供應(yīng)商送往該校的牛奶中,A,B口味的牛奶共約多少盒?
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【題目】如圖,在∠MON中,以點(diǎn)O為圓心,任意長為半徑作弧,交射線OM于點(diǎn)A,交射線ON于點(diǎn)B,再分別以A,B為圓心,OA的長為半徑作弧,兩弧在∠MON的內(nèi)部交于點(diǎn)C,作射線OC.若OA=5,AB=6,則點(diǎn)B到AC的距離為( )
A. 5 B. C. 4 D.
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【題目】如圖,分別過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P1(1,y1),P2(2,y2),…,Pn(n,Pn)….作x軸的垂線,垂足分別為A1,A2,…,An …,連接A1P2,A2P3,…,An﹣1Pn,…,再以A1P1,A1P2為一組鄰邊畫一個(gè)平行四邊形A1P1B1P2,以A2P2,A2P3為一組鄰邊畫一個(gè)平行四邊形A2P2B2P3,依此類推,則點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)是______________.(結(jié)果用含n代數(shù)式表示)
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