【題目】我們把有一組鄰邊相等,一組對邊平行但不相等的四邊形稱作“準菱形”.
(1)證明“準菱形”性質:“準菱形”的一條對角線平分一個內角.
(要求:根據(jù)圖1寫出已知,求證,證明)
已知:
求證:
證明:
(2)已知.在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4.若點D,E分別在邊BC,AC上,且四邊形ABDE為“準菱形”.請在下列給出的△ABC中,作出滿足條件的所有“準菱形”ABDE,并寫出相應DE的長.(所給△ABC不一定都用,不夠可添)
【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析.
【解析】
(1)根據(jù)準菱形的定義寫出已知,結合圖形寫出求證,利用平行線的性質定理進行證明;
(2)分AE=AB,DE∥AB、BA=BD,DE∥AB、EA=ED,DE∥AB、DE=BD,DE∥AB四種情況,利用相似三角形的判定定理和性質定理計算即可.
(1)已知:如圖,“準菱形”ABCD中,AB=AD,AD∥BC,().
求證:BD平分∠ABC.
證明:∵AB=AD,
∴∠ABD=∠BDA.
又∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠BDA,
∴∠ABD=∠DBC.
即BD平分∠ABC.
(2)可以作出如下四種圖形:
(2)可以作出如下四種圖形,
∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC=5,
如圖2,當AE=AB,DE∥AB時,
,即,
解得,DE=;
如圖3,當BA=BD,DE∥AB時,
,即,
解得,DE=;
如圖4,當EA=ED,DE∥AB時,
,即,
解得,DE=;
如圖5,當DE=BD,DE∥AB時,
,即,
解得,DE=.
故答案為:,,,.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,過點B作⊙O的切線BD,與CA的延長線交于點D,與半徑AO的延長線交于點E,過點A作⊙O的切線AF,與直徑BC的延長線交于點F.
(1)求證:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC=,求DE的長;
(3)連接EF,求證:EF是⊙O的切線.
【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=90°,根據(jù)三角形的內角和得到∠ACB=60°根據(jù)切線的性質得到∠OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論;
(2)根據(jù)S△AOC=,得到S△ACF=,通過△ACF∽△DAE,求得S△DAE=,過A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面積公式列方程即可得到結論;
(3)根據(jù)全等三角形的性質得到OE=OF,根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到∠AFO=∠GFO,過O作OG⊥EF于G,根據(jù)全等三角形的性質得到OG=OA,即可得到結論.
試題解析:(1)證明:∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°
∵OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AF是⊙O的切線,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DE是⊙O的切線,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE;
(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵S△AOC=,∴S△ACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴S△DAE=,過A作AH⊥DE于H,∴AH=DH=DE,∴S△ADE=DEAH=×=,∴DE=;
(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFO,在△AOF與△BOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFO,OA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,過O作OG⊥EF于G,∴∠OAF=∠OGF=90°,在△AOF與△OGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFO,OF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EF是⊙O的切線.
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,四邊形ABCO是矩形,點A,C的坐標分別是A(0,2)和C(2,0),點D是對角線AC上一動點(不與A,C重合),連結BD,作DE⊥DB,交x軸于點E,以線段DE,DB為鄰邊作矩形BDEF.
(1)填空:點B的坐標為 ;
(2)是否存在這樣的點D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,請求出AD的長度;若不存在,請說明理由;
(3)①求證:;
②設AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關于x的函數(shù)關系式(可利用①的結論),并求出y的最小值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,兩點的坐標分別為(8,0),(0,8),點,分別是直線和軸上的動點,,點是線段的中點,連接交軸于點,當面積取得最小值時,的值是( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(a≠0)的對稱軸為直線,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點,與軸交于點B.
(1)若直線經(jīng)過B,C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使MA+MC的值最小,求點M的坐標;
(3)設P為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使ΔBPC為直角三角形的點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0)和點B(2,3),過點A的直線與y軸的負半軸相交于點C,且tan∠CAO=.
(1)求這條拋物線的表達式及對稱軸;
(2)聯(lián)結AB、BC,求∠ABC的正切值;
(3)若點D在x軸下方的對稱軸上,當S△DBC=S△ADC時,求點D的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為點P,直線BF與AD延長線交于點F,且∠AFB=∠ABC.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若CD=2,BP=1,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】今年以來,我國持續(xù)大面積的霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點.為了調查學生對霧霾天氣知識的了解程度,某校在學生中做了一次抽樣調查,調查結果共分為四個等級:A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解.根據(jù)調查統(tǒng)計結果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計圖表.
對霧霾了解程度的統(tǒng)計表:
對霧霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
B.比較了解 | m |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
請結合統(tǒng)計圖表,回答下列問題.
(1)本次參與調查的學生共有 人,m= ,n= ;
(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計圖中D部分扇形所對應的圓心角是 度;
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)根據(jù)調查結果,學校準備開展關于霧霾知識競賽,某班要從“非常了解”態(tài)度的小明和小剛中選一人參加,現(xiàn)設計了如下游戲來確定,具體規(guī)則是:把四個完全相同的乒乓球標上數(shù)字1,2,3,4,然后放到一個不透明的袋中,一個人先從袋中隨機摸出一個球,另一人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球.若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù),則小明去;否則小剛去.請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們規(guī)定:一個多邊形上任意兩點間距離的最大值稱為該多邊形的“直徑”.現(xiàn)有兩個全等的三角形,邊長分別為4、4、.將這兩個三角形相等的邊重合拼成對角線互相垂直的凸四邊形,那么這個凸四邊形的“直徑”為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著交通道路的不斷完善,帶動了旅游業(yè)的發(fā)展,某市旅游景區(qū)有A、B、C、D、E等著名景點,該市旅游部門統(tǒng)計繪制出2017年“五一”長假期間旅游情況統(tǒng)計圖,根據(jù)以下信息解答下列問題:
(1)2017年“五一”期間,該市周邊景點共接待游客 萬人,扇形統(tǒng)計圖中A景點所對應的圓心角的度數(shù)是 ,并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)根據(jù)近幾年到該市旅游人數(shù)增長趨勢,預計2018年“五一”節(jié)將有80萬游客選擇該市旅游,請估計有多少萬人會選擇去E景點旅游?
(3)甲、乙兩個旅行團在A、B、D三個景點中,同時選擇去同一景點的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表法加以說明,并列舉所用等可能的結果.
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