Question

【題目】嘗試探究

如圖-，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，點E、F分別是BC、AC邊上的點，且EF//BC.

的值為 ；直線與直線的位置關系為 ；

類比延伸

如圖，若將圖中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關系，并說明理由；

拓展運用

若，在旋轉(zhuǎn)過程中，當三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長.

Answer 1

【答案】 ； ； ；（3）或

【解析】

（1）①根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)即可解決問題；

②根據(jù)已知可直接得出答案；

（2）只要證明△ACF△BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得的值，也可得∠BCE=∠CAF，繼而推導即可得；

（3）分兩種情況畫出圖形分別解決即可.

①∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF//AB，

∴∠CFE=∠A=30°，

∴CF==EC，AC==BC，

∴AF=AC-CF=BC-EC=（BC-EC）=BE，

∴=，

故答案為：；

②∵∠ACB=90°，

∴，即直線與直線的位置關系為垂直，

故答案為：；

，

理由如下：由及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，

在中，，

在中，，

，又，

，，

∴=

，

，

如圖，延長交于點，交于點，

，，

，，

，，

即；

①如圖，∵△ECB∽△FCA，∴AF：BE=CF：CE=，

設BE=a，則AF=a，

∵B、E、F共線，∴∠BEC=∠AFC=120°，

∵∠EFC=30°，∴∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，AB=2BC=6，AF=a，BF=EF+BE=4+a，

∴，

∴a=-1+或-1-（舍去），

∴AF=a=；

②如圖，當E、B、F共線時，同法可證：AF=BE，∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，，

∴a=1+或1-（舍去），

∴AF=a=，

綜上，AF的長為或.