Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥EB．

（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）若AD=2，AE=6，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．

【解析】試題（1）取BD的中點(diǎn)0，連結(jié)OE，如圖，由∠BED=90°，根據(jù)圓周角定理可得BD為△BDE的外接圓的直徑，點(diǎn)O為△BDE的外接圓的圓心，再證明OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理判斷AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得62+r2=（r+2）2，解得r=2，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由OE∥BC得，然后根據(jù)比例性質(zhì)可計(jì)算出EC．

試題解析：（1）證明：取BD的中點(diǎn)0，連結(jié)OE，如圖，

∵DE⊥EB，

∴∠BED=90°，

∴BD為△BDE的外接圓的直徑，點(diǎn)O為△BDE的外接圓的圓心，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠EB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴OE⊥AE，

∴AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OD+DA=r+2，OE=r，

在Rt△AEO中，∵AE2+OE2=AO2，

∴62+r2=（r+2）2，解得r=2，

∵OE∥BC，

∴，即，

∴CE=3．