Question

【題目】如圖，正方形的邊，在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作的垂線，與過點(diǎn)平行于軸的直線相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）線段 （用含的式子表示），點(diǎn)的坐標(biāo)為 （用含的式子表示），的度數(shù)為 ．

（2）經(jīng)探究周長(zhǎng)是一個(gè)定值，不會(huì)隨時(shí)間的變化而變化，請(qǐng)猜測(cè)周長(zhǎng)的值并證明．

（3）①當(dāng)為何值時(shí)，有．

②的面積能否等于周長(zhǎng)的一半，若能求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（t，t），45°；（2）△POE周長(zhǎng)是一個(gè)定值為10，理由見解析；（3）①當(dāng)t為（5-5）秒時(shí)，BP=BE；②能，PE的長(zhǎng)度為2．

【解析】

（1）由勾股定理得出BP的長(zhǎng)度；易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，證明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．再證明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．即可得出答案；
（3）①證明Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．得出AP=CE．則PO=EO=5-t．由等腰直角三角形的性質(zhì)得出PE=PO=（5-t）．延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，證明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．證明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．得出方程（5-t）=2t．解得t=5-5即可；
②由①得：當(dāng)BP=BE時(shí)，AP=CE．得出PO=EO．則△POE的面積=OP2=5，解得OP=，得出PE=OP-=2即可．

解：（1）如圖1，

由題可得：AP=OQ=1×t=t，
∴AO=PQ．
∵四邊形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∴BP=，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，

，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t）．
故答案為：，（t，t），45°．
（2）△POE周長(zhǎng)是一個(gè)定值為10，理由如下：
延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，

，
∴△FAB≌△ECB（SAS）．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=5+5=10．
∴△POE周長(zhǎng)是定值，該定值為10．
（3）①若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，

，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=5-t．
∵∠POE=90°，
∴△POE是等腰直角三角形，
∴PE=PO=（5-t）．
延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，

，
∴△FAB≌△ECB（SAS）．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴（5-t）=2t．
解得：t=5-5，
∴當(dāng)t為（5-5）秒時(shí)，BP=BE．
②△POE的面積能等于△POE周長(zhǎng)的一半；理由如下：
由①得：當(dāng)BP=BE時(shí)，AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO．
則△POE的面積=OP2=5，
解得：OP=，
∴PE=OP==2；
即△POE的面積能等于△POE周長(zhǎng)的一半，此時(shí)PE的長(zhǎng)度為2．