Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝2x+4與兩坐標軸分別交于A，B兩點．

（1）若一次函數(shù)y＝﹣x+m與直線AB的交點在第二象限，求m的取值范圍；

（2）若M是y軸上一點，N是x軸上一點，直線AB上是否存在兩點P，Q，使得以M，N，P，Q四點為頂點的四邊形是正方形．若存在，求出M，N兩點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＜4；（2）M（0，），N（﹣，0）或M（0，﹣），N（，0）或M（0，﹣4），N（﹣，0）；

【解析】

（1）根據(jù)題意聯(lián)立一次函數(shù)解析式與直線AB的解析式，據(jù)此進一步用表示出，最后根據(jù)第二象限的點的坐標特征加以分析即可；

（2）首先求出A、B兩點坐標，然后根據(jù)題意分圖1、圖2、圖3共三種情況結合相似三角形性質進一步分析求解即可.

（1）聯(lián)立與，得：，

∴，

∵交點位于第二象限，

∴，

∴；

（2）當時，，

∴A（0，4），

當時，，即：，

∴B（，0），

∴OA＝4，OB＝2．

如圖1，過點Q作QH⊥軸于H，

∵MN∥AB，

∴△NMO~△BAO，

∴，

設ON＝，則OM＝，

∵∠MNQ＝90°，

∴∠QNH+∠MNO＝∠MNO+∠NMO＝90°，

∴∠QNH＝∠NMO，

在△QNH和△NMO中，

∵∠QNH＝∠NMO，∠QHN=∠NOM，QN=MN，

∴△QNH△NMO（AAS），

∴QH＝ON＝，HN＝OM＝2，

易得：△BQH~△BAO，

∴，

∴BH＝，

∵OB＝BH+HN+ON，

∴2＝，解得，

∴M（0，），N（，0）；

如圖2，過點P作PH⊥軸于H，

易證△PNH~△BAO，

∴，

設PH＝b，則NH＝2b，

同理證得△PNH△NMO，

∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，

∴OH＝HNOH＝b，

易得：△BPH~△BAO，

∴，

∴BH＝b，

∵OB＝BH+OH，

∴2＝b+b，解得b＝，

∴M（0，），N（，0）；

如圖3，過點P作PH⊥軸于H，PE⊥y軸于E，QF⊥y軸于F，

易得：△PAE~△BAO，

∴，

設PE＝c，則AE＝2c，

同理證得△PNH△PME，

∴PH＝PE＝OE＝c，則AE＝2c，

∵OA＝AE+OE，

∴4＝2c+c，解得c＝，

∵△MQF△PME，

∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，

∴EM＝OF＝FQ，設EM＝OF＝FQ＝m，

則Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，

∴NO＝NH+OH＝，∴N（，0），

∵OF＝m＝4，

∴M（0，﹣4）．

綜上所述M（0，），N（，0）或M（0，），N（，0）或M（0，﹣4），N（，0）．