Question

【題目】在中，是銳角，過兩點以為半徑作

（1）如圖，對角線交于點，若，且過點，求的值

（2）與邊的延長線交于點，的延長線交于點，連接，若，的長為，當時，求的度數(shù)（提示：可再備用圖上補全示意圖）

Answer 1

【答案】（1）1；（2）90°

【解析】

（1）先證得為菱形，由菱形的性質得到AC⊥BD，從而判斷出線段AB為的直徑，從而得到r.

（2）依題意補全圖形，結合圖形，證明點D在圓上，得到DF為直徑即可求解.

（1）解：在□ABCD中，AB＝BC＝2，

∴四邊形ABCD是菱形.

∴AC⊥BD.

∴∠AMB＝90°

∴AB為⊙O的直徑

∴r＝AB＝1

（2）解：連接AE，設圓心為如圖點O，連接OA，OB，OC，OD，OE，直線OC與AD交于點N，則OA＝OB＝OE＝r.

在⊙O中，＝.

∵＝r，

∴ n＝90°.即∠AOE＝90°,

∴∠ABE＝∠AOE＝45°.

在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝45°.

∴∠ABE＝∠ACB＝45°.

∴∠BAC＝90°，AB＝AC.

∴在Rt△ABC中，BC＝＝AB.

∵CE＝AB，

∴BC＝CE.

又∵OB＝OE，

∴OC⊥BE

∴∠OCB＝90°

∵AD∥BC，

∴∠OCB＝∠ONA＝90°.

∴OC⊥AD.

在□ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°.

∴∠DAC＝∠ADC =45°.

∴AC＝CD.

∴AN＝ND

即直線OC垂直平分AD

∴OA＝OD.

∴點D在⊙O上

∴DF為⊙O的直徑.

∴∠DEF＝90°