【題目】如圖所示,在RtABC中,∠ACB90°,∠A30°,點(diǎn)OAB中點(diǎn),點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與BC重合),連接OC、OP,將OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ,若∠BPO15°,BP4,則BQ的長(zhǎng)為_____

【答案】2+244

【解析】

分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)PCB延長(zhǎng)線上時(shí),連接OQ,證得OBC是等邊三角形得出,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OPQ是等邊三角形,得出,推出,由SAS證得得出,證得,過(guò)點(diǎn)PPDBQD,則,由勾股定理得出,證得QDP是等腰直角三角形得出,則;

②當(dāng)點(diǎn)PBC延長(zhǎng)線上時(shí),連接OQ,證得OBC是等邊三角形得出,推出,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OPQ是等邊三角形得出,推出,由SAS證得得出,證得,過(guò)點(diǎn)QQEBPE,則,設(shè),則,由勾股定理得出,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出,則,求解即可得出答案.

依題意,分以下兩種情況:

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)PCB延長(zhǎng)線上時(shí),連接OQ

中,點(diǎn)OAB中點(diǎn)

∴△OBC是等邊三角形

OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段PQ

∴△OPQ是等邊三角形

COPBOQ中,

過(guò)點(diǎn)PPDBQD,則

∴△QDP是等腰直角三角形

;

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)PBC延長(zhǎng)線上時(shí),連接OQ

中,點(diǎn)OAB中點(diǎn)

∴△OBC是等邊三角形

OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段PQ

∴△OPQ是等邊三角形

COPBOQ中,

過(guò)點(diǎn)QQEBPE,則

設(shè),則

解得,即

綜上,BQ的長(zhǎng)為

故答案為:

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【題目】為大力弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)、友愛、互助、進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神,傳播“奉獻(xiàn)他人、提升自我”的志愿服務(wù)理念,合肥市某中學(xué)利用周末時(shí)間開展了“助老助殘、社區(qū)服務(wù)、生態(tài)環(huán)保、網(wǎng)絡(luò)文明”四個(gè)志愿服務(wù)活動(dòng)(每人只參加一個(gè)活動(dòng)),九年級(jí)某班全班同學(xué)都參加了志愿服務(wù),班長(zhǎng)為了解志愿服務(wù)的情況,收集整理數(shù)據(jù)后,繪制以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:

(1)請(qǐng)把折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中,網(wǎng)絡(luò)文明部分對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);

(3)小明和小麗參加了志愿服務(wù)活動(dòng),請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出他們參加同一服務(wù)活動(dòng)的概率.

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【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),將它的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比稱為點(diǎn)理想值,記作.如理想值

1)①若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)理想值等于_______;

②如圖,,的半徑為1.若點(diǎn)上,則點(diǎn)理想值的取值范圍是_______

2)點(diǎn)在直線上,的半徑為1,點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)都有,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍;

3是以為半徑的上任意一點(diǎn),當(dāng)時(shí),畫出滿足條件的最大圓,并直接寫出相應(yīng)的半徑的值.(要求畫圖位置準(zhǔn)確,但不必尺規(guī)作圖)

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【題目】八年級(jí)6班的一個(gè)互助學(xué)習(xí)小組組長(zhǎng)收集并整理了組員們討論如下問題時(shí)所需的條件.如圖所示,在四邊形中,點(diǎn)分別在邊上,____________________.求證:四邊形是平行四邊形.你能在橫線上填上最少且簡(jiǎn)捷的條件使結(jié)論成立嗎?條件分別是:;②;③;④四邊形是平行四邊形,其中A、B、C、D四位同學(xué)所填條件符合題目要求的是( 。

A.①②B.①②③C.①④D.

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【題目】世界500強(qiáng)H公司決定購(gòu)買某演唱會(huì)門票獎(jiǎng)勵(lì)部分優(yōu)秀員工,演唱會(huì)的購(gòu)票方式有以下兩種,

方式一:若單位贊助廣告費(fèi)10萬(wàn)元,則該單位所購(gòu)門票的價(jià)格為每張0.02萬(wàn)元(其中總費(fèi)用=廣告贊助費(fèi)+門票費(fèi));

方式二:如圖所示,設(shè)購(gòu)買門票x張,總費(fèi)用為y萬(wàn)元

1)求用購(gòu)票方式一時(shí)yx的函數(shù)關(guān)系式;

2)若H、A兩家公司分別釆用方式一、方式二購(gòu)買本場(chǎng)演唱會(huì)門票共400張,且A公司購(gòu)買超過(guò)100張,兩公司共花費(fèi)27.2萬(wàn)元,求H、A兩公司各購(gòu)買門票多少?gòu)垼?/span>

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1)證明:無(wú)論運(yùn)動(dòng)到上的何處,都有

2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),

3)若再?gòu)?/span>,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,為多少時(shí),是等腰三角形?

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,點(diǎn)A2,1.

1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

2)求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

3)在(2)所求的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),點(diǎn)C,D在以OA為直徑的半圓M上,且四邊形OCDB是平行四邊形,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是,,

1)請(qǐng)作出點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);

2)以點(diǎn)為位似中心,將擴(kuò)大為原來(lái)的2倍,得到,請(qǐng)?jiān)?/span>軸的左側(cè)畫出;

3)請(qǐng)直接寫出的正弦值.

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