Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是_____，

證明你的結(jié)論．

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_____條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

（3）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_____條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形；

（4）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？_____；

（5）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？_____；

（6）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形？_____．

Answer 1

【答案】 平行四邊形 AC⊥BD AC=BD 菱形 矩形 正方形

【解析】試題分析：（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

（3）添加的條件應(yīng)為：AC=BD，把AC=BD作為已知條件，根據(jù)三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四邊形EFGH為菱形．

（4）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1=90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90°，再根據(jù)垂直定義解答；

（5）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1=90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90°，再根據(jù)垂直定義解答；

（6）根據(jù)鄰邊相等的矩形為正方形進(jìn)行解答．

試題解析：解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

如圖，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：

如圖，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形；

（3）∵E，F，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，則HG∥EF且HG=EF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四邊形EFGH為菱形．

（4）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：

如圖，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，span>∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形；

（5）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．理由如下：

理由如下：

如圖，連接AC、BD．在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC．又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四邊形EFGH為菱形．

（6）連接AC、BD．∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF=AC，GH=AC，EH=BD，GF=BD．∵AB=CD，∴AC=BD，∴EF=GH=EH=GF，∴四邊形EFGH菱形．∵∠HEF=90°，∴四邊形EFGH正方形．故答案為：平行四邊形；AC⊥BD；AC=BD；菱形；矩形；正方形．