【題目】如圖,點P在直線y=x-1上,設過點P的直線交拋物線y=x2于A(a,a2),B(b,b2)兩點,當滿足PA=PB時,稱點P為“優(yōu)點”.
(1)當a+b=0時,求“優(yōu)點”P的橫坐標;
(2)若“優(yōu)點”P的橫坐標為3,求式子18a-9b的值;
(3)小安演算發(fā)現:直線y=x-1上的所有點都是“優(yōu)點”,請判斷小安發(fā)現是否正確?如果正確,說明理由;如果不正確,舉出反例.
【答案】(1)點橫坐標為;(2)27;(3)正確,理由見解析.
【解析】
(1)先判斷點A與點B關于y軸對稱得到PA∥x軸,所以P點的縱坐標為a2,P點的橫坐標為a2+1,則利用PA=AB得到a2+1-a=a-(-a),然后求出a得到優(yōu)點”P的橫坐標;
(2)由于A點為PB的中點,根據線段的中點坐標公式得到a=,即2a-b=3,然后利用整體代入的方法計算代數式的值;
(3)設P(x,x-1),利用A點為PB的中點得到a=,a2=,消去a得到方程x2+2(b-1)x+1-b2=0,然后通過證明此方程一定有解判斷直線y=x-1上的所有點都是“優(yōu)點”.
(1)∵,
∴點、關于對稱,
∴軸,
∵,
∴點的橫坐標為,
∴點的坐標為,點的坐標為,
∵軸,
∴,解得,
∴點橫坐標為;
(2)∵點在直線上,
∴點坐標為,
∵,
∴,
∴,
∴;
(3)設點坐標為,結合點的坐標,
當時,分析出點的坐標為,
把點坐標代入拋物線解析式中,
,
整理,得,
∵,
∴對于任意,總有x使得PA=AB,
∴直線上的點均為優(yōu)點.
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【題目】農場有100棵果樹,每一棵樹平均結600個果子.現準備多種一些果樹以提高產量,根據經驗估計,每多種一棵果樹,平均每棵樹就會少結5個果子.假設果園增種x棵果樹,果子總產量為y個.
(1)增種多少棵果樹,可以使果園的總產量最多?最多為多少?
(2)增種多少棵果樹,可以使果子的總產量在60400個以上?
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【題目】某商品的進價為每件30元,售價為每件40元,每周可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每周就會少賣出5件,但每件售價不能高于50元,設每件商品的售價上漲x元(x為整數),每周的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數關系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)每件商品的售價為多少元時,每周可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)每件商品的售價定為多少元時,每周的利潤恰好是2145元?
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【題目】如圖,某汽車在路面上朝正東方向勻速行駛,在A處觀測到樓H在北偏東60°方向上,行駛1小時后到達B處,此時觀測到樓H在北偏東30°北方向上,那么汽車由B處到達離樓H距離最近的位置C時,需要繼續(xù)行駛的時間為( )
A. 60分鐘B. 30分鐘C. 15分鐘D. 45分鐘
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【題目】已知反比例函數的圖象經過點A(2,6).
(1)求這個反比例函數的解析式;
(2)這個函數的圖象位于哪些象限?y隨x的增大如何變化?
(3)點B(3,4),C(5,2),D(,)是否在這個函數圖象上?為什么?
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【題目】(2017湖南省長沙市,第12題,3分)如圖,將正方形ABCD折疊,使頂點A與CD邊上的一點H重合(H不與端點C,D重合),折痕交AD于點E,交BC于點F,邊AB折疊后與邊BC交于點G.設正方形ABCD的周長為m,△CHG的周長為n,則的值為( )
A. B. C. D. 隨H點位置的變化而變化
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【題目】已知△ABC內接于⊙O,過點A作直線EF,
(1)如圖1,若AB為直徑,要使得EF是⊙O的切線,還需要添加的條件是(只須寫出兩種不同情況)① 或② .
(2)如圖2,若AB為非直徑的弦,∠CAE=∠B,試說明EF是⊙O的切線.
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【題目】已知關于x的一元二次方程x2+mx﹣6=0.
(1)求證:不論m為何實數,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)若m=1,用配方法解這個一元二次方程.
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