【題目】拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
(3)如圖2,將拋物線平移,使其頂點E與原點O重合,直線y=kx+2(k>0)與拋物線相交于點P、Q(點P在左邊),過點P作x軸平行線交拋物線于點H,當(dāng)k發(fā)生改變時,請說明直線QH過定點,并求定點坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2);(3)當(dāng)k發(fā)生改變時,直線QH過定點,定點坐標(biāo)為(0,﹣2)
【解析】
(1)把點A(﹣1,0),C(0,﹣3)代入拋物線表達式求得b,c,即可得出拋物線的解析式;
(2)作CH⊥EF于H,設(shè)N的坐標(biāo)為(1,n),證明Rt△NCH∽△MNF,可得m=n2+3n+1,因為﹣4≤n≤0,即可得出m的取值范圍;
(3)設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2),則點H(﹣x1,y1),設(shè)直線HQ表達式為y=ax+t,用待定系數(shù)法和韋達定理可求得a=x2﹣x1,t=﹣2,即可得出直線QH過定點(0,﹣2).
解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、C,
把點A(﹣1,0),C(0,﹣3)代入,得:,
解得,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)如圖,作CH⊥EF于H,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴拋物線的頂點坐標(biāo)E(1,﹣4),
設(shè)N的坐標(biāo)為(1,n),﹣4≤n≤0
∵∠MNC=90°,
∴∠CNH+∠MNF=90°,
又∵∠CNH+∠NCH=90°,
∴∠NCH=∠MNF,
又∵∠NHC=∠MFN=90°,
∴Rt△NCH∽△MNF,
∴,即
解得:m=n2+3n+1=,
∴當(dāng)時,m最小值為;
當(dāng)n=﹣4時,m有最大值,m的最大值=16﹣12+1=5.
∴m的取值范圍是.
(3)設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵過點P作x軸平行線交拋物線于點H,
∴H(﹣x1,y1),
∵y=kx+2,y=x2,
消去y得,x2﹣kx﹣2=0,
x1+x2=k,x1x2=﹣2,
設(shè)直線HQ表達式為y=ax+t,
將點Q(x2,y2),H(﹣x1,y1)代入,得,
∴y2﹣y1=a(x1+x2),即k(x2﹣x1)=ka,
∴a=x2﹣x1,
∵=( x2﹣x1)x2+t,
∴t=﹣2,
∴直線HQ表達式為y=( x2﹣x1)x﹣2,
∴當(dāng)k發(fā)生改變時,直線QH過定點,定點坐標(biāo)為(0,﹣2).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求點B到AC的距離.
(3)在第(2)的條件下,求△ACP的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】濟南某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城,點贊泉城”書畫比賽中,楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班(用A,B,C,D表示),對征集到的作鼎的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計,制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(l)楊老師采用的調(diào)查方式是 (填“普查”或“抽樣調(diào)查”);
(2)請補充完整條形統(tǒng)計圖,并計算扇形統(tǒng)計圖中C班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù) .
(3)請估計全校共征集作品的什數(shù).
(4)如果全枝征集的作品中有5件獲得一等獎,其中有3名作者是男生,2名作者是女生,現(xiàn)要在獲得一樣等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會,請你用列表或樹狀圖的方法,求恰好選取的兩名學(xué)生性別相同的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,4AB=5AC,AD為△ABC的角平分線,點E在BC的延長線上,EF⊥AD于點F,點G在AF上,FG=FD,連接EG交AC于點H.若點H是AC的中點,則的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】不透明的袋子中裝有4個相同的小球,它們除顏色外無其它差別,把它們分別標(biāo)號:1、2、3、4,
(1)隨機摸出一個小球后,放回并搖勻,再隨機摸出一個,用列表或畫樹狀圖的方法求出“兩次取的球標(biāo)號相同”的概率
(2)隨機摸出兩個小球,直接寫出“兩次取出的球標(biāo)號和等于4”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為弓形AB的弦,AB=2,弓形所在圓⊙O的半徑為2,點P為弧AB上動點,點I為△PAB的內(nèi)心,當(dāng)點P從點A向點B運動時,點I移動的路徑長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
(3)如圖2,將拋物線平移,使其頂點E與原點O重合,直線y=kx+2(k>0)與拋物線相交于點P、Q(點P在左邊),過點P作x軸平行線交拋物線于點H,當(dāng)k發(fā)生改變時,請說明直線QH過定點,并求定點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC,以AB為直徑的圓與BC邊交于點D,過點D作DF⊥AC,垂足為F,過點F作FG⊥AB,垂足為G,連結(jié)GD.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若AB=12,求FG的長;
(3)在(2)問條件下,求點D到FG的距離.
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【題目】2020年東京奧運會的比賽門票開始接受公眾預(yù)訂.下表為奧運會官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票的人民幣價格,球迷小李用12000元做為預(yù)訂下表中比賽項目門票的資金.
比賽項目 | 票價(元/場) |
男籃 | 1000 |
足球 | 800 |
乒乓球 | 500 |
(1)若全部資金用來預(yù)訂男籃門票和乒乓球門票共15張,問男籃門票和乒乓球門票各訂多少張?
(2)若在準備資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下,這個球迷想預(yù)定上表中三種球類門票,其中足球門票與乒乓球門票數(shù)相同,且足球門票的費用不超過男籃門票的費用,問可以預(yù)訂這三種球類門票各多少張?
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