【題目】如圖,點P在⊙O外,PC是⊙O的切線,C為切點,直線PO與⊙O相交于點A、B.
(1)若∠A=30°,求證:PA=3PB;
(2)小明發(fā)現,∠A在一定范圍內變化時,始終有∠BCP=(90°﹣∠P)成立.請你寫出推理過程.
【答案】(1)見解析;(2)推理過程見解析.
【解析】
(1)由直徑所對的圓周角是直角,以及∠A=30°可得∠ABC=60°,從而可判斷△OBC是等邊三角形,得到∠COB=60°,再結合切線的性質可求得∠P=30°,繼而可推得PB=OB,再根據AB=2OB,即可確定AP與BP的數量關系;
(2)連接OC,由圓周角定理以及切線的性質結合等角對等邊可以推導得出∠BCP=∠A,再由三角形內角和定理即可確定出兩角的關系.
(1)連接OC,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
又∵∠A=30°,
∴∠ABC=90°-30°=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等邊三角形,
∴OB=BC=OC,∠COB=60°,
∵PC是⊙O的切線,OC是半徑,
∴∠OCP=90°,
∴∠P=90°-∠BOC=30°,
∴PO=2OC,
∴PB=OB,
∵AB=2OB,
∴AP=AB+PB=3PB;
(2)如圖,連接OC,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°,
∵PC是⊙O的切線,OC是半徑,
∴∠OCP=90°,即∠BCP+∠BCO=90°,
∴∠BCP=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠BCP=∠A,
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°,且∠ACB=90°,
∴2∠BCP=180°﹣∠P,
∴∠BCP=(90°﹣∠P).
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【題目】已知,如圖,拋物線的頂點為,經過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點.
(1)求拋物線的解析式和直線的解析式.
(2)在拋物線上兩點之間的部分(不包含兩點),是否存在點,使得?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)若點在拋物線上,點在軸上,當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出滿足條件的點的坐標.
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【題目】如圖,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數的圖象在第一象限交于點A(3,2),與y軸的負半軸交于點B,且OB=4.
(1)求函數和y=kx+b的解析式;
(2)結合圖象直接寫出不等式組0<<kx+b的解集.
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【題目】(1)如圖1,在平行四邊形ABCD中,∠A=30°,AB=6,AD=8,將平行四邊形ABCD分割成兩部分,然后拼成一個矩形,請畫出拼成的矩形,并說明矩形的長和寬.(保留分割線的痕跡)
(2)若將一邊長為1的正方形按如圖2﹣1所示剪開,恰好能拼成如圖2﹣2所示的矩形,則m的值是多少?
(3)四邊形ABCD是一個長為7,寬為5的矩形(面積為35),若把它按如圖3﹣1所示的方式剪開,分成四部分,重新拼成如圖3﹣2所示的圖形,得到一個長為9,寬為4的矩形(面積為36).問:重新拼成的圖形的面積為什么會增加?請說明理由.
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【題目】如圖,在一塊斜邊長30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一個正方形CDEF,點D在邊BC上,點E在斜邊AB上,點F在邊AC上,若AF:AC=1:3,則這塊木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面積為( )
A. 100cm2B. 150cm2C. 170cm2D. 200cm2
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【題目】為了豐富校園文化生活,提高學生的綜合素質,促進中學生全面發(fā)展,學校開展了多種社團活動.小明喜歡的社團有:合唱社團、足球社團、書法社團、科技社團(分別用字母A,B,C,D依次表示這四個社團),并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上,然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.
(1)小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是 .
(2)小明先從中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再從剩余的卡片中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率.
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【題目】九年級(1)班全班50名同學組成五個不同的興趣愛好小組,每人都參加且只能參加一個小組,統(tǒng)計(不完全)人數如下表:
編號 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
人數 | 15 | 20 | 10 |
已知前面兩個小組的人數之比是.
解答下列問題:
(1) .
(2)補全條形統(tǒng)計圖:
(3)若從第一組和第五組中任選兩名同學,求這兩名同學是同一組的概率.(用樹狀圖或列表把所有可能都列出來)
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【題目】網上學習越來越受到學生的喜愛.某校信息小組為了解七年級學生網上學習的情況,從該校七年級隨機抽取20名學生,進行了每周網上學習的調查.數據如下(單位:時):
3 | 2.5 | 0.6 | 1.5 | 1 | 2 | 2 | 3.3 | 2.5 | 1.8 |
2.5 | 2.2 | 3.5 | 4 | 1.5 | 2.5 | 3.1 | 2.8 | 3.3 | 2.4 |
整理上面的數據,得到表格如下:
網上學習時間(時) | ||||
人數 | 2 | 5 | 8 | 5 |
樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示:
統(tǒng)計量 | 平均數 | 中位數 | 眾數 |
數值 | 2.4 |
根據以上信息,解答下列問題:
(1)上表中的中位數的值為 ,眾數的值為 .
(2)用樣本中的平均數估計該校七年級學生平均每人一學期(按18周計算)網上學習的時間.
(3)已知該校七年級學生有200名,估計每周網上學習時間超過2小時的學生人數.
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【題目】如圖1,在正方形中,點是邊上的一個動點(點與點不重合),連接,過點作于點,交于點.
(1)求證:;
(2)如圖2,當點運動到中點時,連接,求證:;
(3)如圖3,在(2)的條件下,過點作于點,分別交于點,求的值.
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