Question

【題目】已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)M（2，﹣3），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求拋物線L的表達(dá)式；

（2）試判斷拋物線L與x軸交點(diǎn)的情況；

（3）平移該拋物線，設(shè)平移后的拋物線為L′，拋物線L′的頂點(diǎn)記為P，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，已知點(diǎn)N（2，﹣8），怎樣平移才能使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）拋物線L與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（3）將原拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到符合條件的拋物線L

【解析】

（1）將M、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，根據(jù)待定系數(shù)法即可解答；

（2）利用一元二次方程的根的判別式即可解答；

（3）先確定M（2，-3）、N（2，-8），則當(dāng)PQ=MN=5時(shí)，四邊形MNPQ為平行四邊形．設(shè)點(diǎn)Q（m，0），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-5），根據(jù)菱形的性質(zhì)得到PN=MN=5，故（m-2）2+（-5+8）2=52，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-5）或（-2，-5），最后就兩個(gè)頂點(diǎn)分別根據(jù)平移規(guī)律解答即可．

解：（1）拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)M（2，﹣3），點(diǎn)C（0，﹣3）．

代入得，

解得，

∴拋物線L的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，則△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，

∴拋物線L與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（3）由題意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），

∴MN∥y軸，MN＝5，

∵PQ∥MN∥y軸，

∴當(dāng)PQ＝MN＝5時(shí)，四邊形MNPQ為平行四邊形．

設(shè)點(diǎn)Q（m，0），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣5），

要使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，

只需PN＝MN＝5，

∴（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，

解得m1＝6，m2＝﹣2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），

∴①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣5）時(shí)，6﹣5＝1，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，

∴將原拋物線先向右平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到符合條件的拋物線L′；

②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）時(shí)，﹣2﹣1＝﹣3，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，

∴將原拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到符合條件的拋物線L″．