Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣），該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為的形式；

（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿拋物線對(duì)稱軸方向向上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連接OM，BM，當(dāng)t為何值時(shí)，△OMB為等腰三角形？（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)t= 或時(shí)，△OMB為等腰三角形；（3）存在點(diǎn)P，使∠PBF被BA平分，P（，）.

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)拋物線解析式為，代入點(diǎn)C(0，﹣3)，即可得出拋物線解析式；(2)拋物線解析式可得頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(-2，1)，設(shè)M(-2，m)，m＞1，則MD=，若BM=OM，根據(jù)勾股定理得m2+4=m2+1，若BM=OB，則m2+1=9，

若OM=OB，則m2+4=9，根據(jù)MD=t×1，逐項(xiàng)計(jì)算即可得出t的值；(3)在y軸上取一點(diǎn)N(0，)，連接BN交拋物線于點(diǎn)P則∠PBO=∠EBO，設(shè)直線BN的解析式為，，代入點(diǎn)N(0，)，點(diǎn)B(﹣3，0)，得直線BN的解析式為，與拋物線解析式聯(lián)立，即可得出結(jié)論.

解：(1)由題意可設(shè)拋物線解析式為，

∵點(diǎn)C(0，﹣3)在拋物線上，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為；

(2)由(1)有，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，1)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，

設(shè)M(-2，m)，m＞1，則MD=，

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，

若BM=OM，則m2+4=m2+1，此方程無(wú)解，

若BM=OB，則m2+1=9，

解得或(不合題意，舍去)，

∴t=MD=，

若OM=OB，則m2+4=9，

解得或(不合題意，舍去)，

∴t=MD=，

綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，△OMB為等腰三角形；

(3)存在點(diǎn)P，使∠PBF被BA平分，

在y軸上取一點(diǎn)N(0，)，連接BN交拋物線于點(diǎn)P則∠PBO=∠EBO，

設(shè)直線BN的解析式為，，

∴，解得，

∴直線BN的解析式為，

解方程組，得或(不合題意，舍去)，

∴P(，).