Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半圓⊙O‘與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC．CD是半圓⊙O’的切線，AD⊥CD于點D

（1）求證：∠CAD =∠CAB（3分）

（2）已知拋物線過A、B、C三點，AB=10，tan∠CAD=．

① 求拋物線的解析式（3分）

② 判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由（3分）；

③ 在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形．若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由（3分）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①y=-x2-x+4；②拋物線頂點E在直線CD上；理由見解析；（3）P1（-10，-6）．P2（10，-36）．

【解析】

試題（1）連接O′C，由CD是⊙O的切線，可得O′C⊥CD，則可證得O′C∥AD，又由O′A=O′C，則可證得∠CAD=∠CAB；

（2）①首先證得△CAO∽△BCO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得OC2=OAOB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，則可求得CO，AO，BO的長，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

②首先證得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到F的坐標(biāo)，求得直線DC的解析式，然后將拋物線的頂點坐標(biāo)代入檢驗即可求得答案；

③根據(jù)題意分別從PA∥BC與PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心漏解．

試題解析:（1）證明：連接O′C，

∵CD是⊙O′的切線，

∴O′C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴O′C∥AD，

∴∠O′CA=∠CAD，

∵O′A=O′C，

∴∠CAB=∠O′CA，

∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：①∵AB是⊙O′的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴，

即OC2=OAOB，

∵tan∠CAO=tan∠CAD=，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC2=2CO（10-2CO），

解得CO1=4，CO2=0（舍去），

∴CO=4，AO=8，BO=2

∵CO＞0，

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），

∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，C三點，

∴c=4，

由題意得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=-x2-x+4；

②設(shè)直線DC交x軸于點F，

∴△AOC≌△ADC，

∴AD=AO=8，

∵O′C∥AD，

∴△FO′C∽△FAD，

∴，

∴O′FAD=O′CAF，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

∴BF=，F（，0）；

設(shè)直線DC的解析式為y=kx+m，

則，

解得：，

∴直線DC的解析式為y=-x+4，

由y=-x2-x+4=-（x+3）2+得頂點E的坐標(biāo)為（-3，），

將E（-3，）代入直線DC的解析式y=--x+4中，

右邊=-×（-3）+4==左邊，

∴拋物線頂點E在直線CD上；

（3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）．

①∵A（-8，0），C（0，4），

∴過A、C兩點的直線解析式為y=x+4，

設(shè)過點B且與直線AC平行的直線解析式為：y=x+b，把B（2，0）代入得b=-1，

∴直線PB的解析式為y=x-1，

∴，

解得,（舍去），

∴P1（-10，-6）．

②求P2的方法應(yīng)為過點A作與BC平行的直線，

可求出BC解析式，進而求出與之平行的直線的解析式，

與求P1同法，可求出x1=-8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=-36．

∴P2的坐標(biāo)（10，-36）．

考點: 二次函數(shù)綜合題．