【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,8),并且經(jīng)過A(8,0),點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),過點(diǎn)P作直線y=8的垂線,垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(4,0),連接PD,PE,DE.
(1)求拋物線的解析式;
(2)猜想并探究:對于任意一點(diǎn)P,PD與PF的差是否為固定值?如果是,請求出此定值;如果不是,請說明理由;
(3)求:①當(dāng)△PDE的周長最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo);②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+8;(2)PD與PF的差是定值,PD﹣PF=2;(3)①P(4,6),此時(shí)△PDE的周長最;②共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn).
【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+h)2+k
∵點(diǎn)C(0,8)是它的頂點(diǎn)坐標(biāo), ∴y=ax2+8
又∵經(jīng)過點(diǎn)A(8,0),
有64a+8=0,解得a=
故拋物線的解析式為:y=x2+8;
(2)是定值,解答如下:
設(shè)P(a,a2+8),則F(a,8),
∵D(0,6),
∴PD=
PF=,
∴PD﹣PF=2;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),DE大小不變,則PE與PD的和最小時(shí),△PDE的周長最小,
∵PD﹣PF=2,∴PD=PF+2,
∴PE+PD=PE+PF+2,
∴當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí),PE+PF最小,
此時(shí)點(diǎn)P,E的橫坐標(biāo)都為4,
將x=4代入y=x2+8,得y=6,
∴P(4,6),此時(shí)△PDE的周長最。
過點(diǎn)P做PH⊥x軸,垂足為H.
設(shè)P(a,a2+8)
∴PH=a2+8,EH=a-4,OH=a
S△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE
=
=
=
∵點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))
∴0≤a≤8
當(dāng)a=6時(shí),S△DPE取最大值為13.
當(dāng)a=0時(shí),S△DPE取最小值為4.
即4≤S△DPE≤13
其中,當(dāng)S△DPE=12時(shí),有兩個(gè)點(diǎn)P.
所以,共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn).
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【題目】一個(gè)三角形中,有一個(gè)角是55°,另外的兩個(gè)角可能是( )
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【題目】2016年4月21日在深圳體育館召開的第八屆中國(深圳)國際茶業(yè)文化博覽會(huì)上某茶商將甲、乙兩種茶葉賣出,甲種茶葉賣出1200元,盈利20%,乙種茶葉賣出1200元,虧損20%,則此人在這次交易中是( )
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B.盈利100元
C.虧損150元
D.虧損100元
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【題目】某文具店購進(jìn)一批紀(jì)念冊,每本進(jìn)價(jià)為20元,出于營銷考慮,要求每本紀(jì)念冊的售價(jià)不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊每周的銷售量y(本)與每本紀(jì)念冊的售價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價(jià)為22元時(shí),銷售量為36本;當(dāng)銷售單價(jià)為24元時(shí),銷售量為32本.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊獲得150元的利潤時(shí),每本紀(jì)念冊的銷售單價(jià)是多少元?
(3)設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤為w元,將該紀(jì)念冊銷售單價(jià)定為多少元時(shí),才能使文具店銷售該紀(jì)念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】(1)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋孩伲▁﹣2)2=2x﹣4 ②.x2﹣2x﹣8=0.
(2)先化簡,再求值:,其中是方程的根
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4),
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)求圖象與x軸交點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)圖象與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)C,求三角形ABC的面積.
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