Question

【題目】定義：每個(gè)內(nèi)角都相等的八邊形叫做等角八邊形．容易知道，等角八邊形的內(nèi)角都等于135°．下面，我們來研究它的一些性質(zhì)與判定：

（1）如圖1，等角八邊形ABCDEFGH中，連結(jié)BF．

①請直接寫出∠ABF＋∠GFB的度數(shù)．

②求證：AB∥EF．

③我們把AB與EF稱為八邊形的一組正對邊．由②同理可得：BC與FG，CD與GH，DE與HA這三組正對邊也分別平行．請模仿平行四邊形性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用一句話概括等角八邊形的這一性質(zhì)．

（2）如圖2，等角八邊形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，則其余兩組正對邊CD與GH，DE與HA分別相等嗎？證明你的結(jié)論．

（3）如圖3，八邊形ABCDEFGH中，若四組正對邊分別平行，則顯然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．請?zhí)骄浚涸摪诉呅沃辽傩枰�已知幾個(gè)內(nèi)角為135°，才能保證它一定是等角八邊形？

Answer 1

【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②詳見解析；③等角八邊形的每一組正對邊平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，詳見解析；（3）結(jié)論：至少需要已知5個(gè)內(nèi)角為135°

【解析】

（1）①由等角八邊形的概念可得它的每個(gè)內(nèi)角均為135°，五邊形BAHGF的內(nèi)角和為540°，減去（∠A+∠H+∠G），即可求得結(jié)論；

②根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可證明；

③根據(jù)題目提供的信息，總結(jié)出結(jié)論即可；

（2）分別證明四邊形ABEF是平行四邊形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到結(jié)論；

（3）若4個(gè)內(nèi)角等于135°，則每個(gè)內(nèi)角不一定都為135°，若5個(gè)內(nèi)角等于135°，其余各角的度數(shù)也是135°.

（1）①五邊形BAHGF的內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°

∵∠A=∠H=∠G=

∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135°

即∠ABF＋∠GFB＝135°．

②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°，

∴∠1＝∠3，

∴AB∥EF．

③等角八邊形的每一組正對邊平行．

（2）如圖2，連結(jié)AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF，

∵AB＝EF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∴AF＝BE，AF∥BE，

又∵BC∥FG，

∴∠AFG＝∠EBC，

又∵BC＝FG，

∴△AFG≌△EBC，

∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB，

∵∠HGF＝∠BCD＝135°，

∴∠AGH＝∠ECD，

又∵∠H＝∠D＝135°，

∴△AGH≌△ECD，

∴CD＝GH，DE＝HA．

（3）結(jié)論：至少需要已知5個(gè)內(nèi)角為135°．

①若4個(gè)內(nèi)角等于135°，則每個(gè)內(nèi)角不一定都為135°，

如圖4，八邊形ABCMNFPH不是等角八邊形；

②若5個(gè)內(nèi)角等于135°：

∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．

∴這八個(gè)角中，不論已知哪5個(gè)角是135°，都可以推導(dǎo)出其余的內(nèi)角也是135°．